Domanda su matrice esponenziale

[amel3]

Qualcuno conosce una dimostrazione semplice del fatto che:
$det(e^A)=e^(trA)$, per $A$ matrice quadrata.
Ciao, grazie!

[_Tipper]

Basterebbe dimostrare che se $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ sono autovalori di $A$ allora $e^{\lambda_1}, e^{\lambda_2}, \ldots, e^{\lambda_n}$ lo sono di $e^A$, e mi sembra che qui sia dimostrato questo fatto.

[amel3]

Grazie, però cercavo qualcosa che eviti la forma canonica di Jordan... Non è possibile?

[_Tipper]

Non lo so, se trovo qualcosa a riguardo te lo dico...

[Maxos2]

Semplice, passa alle matrici complesse e triangolarizza, che si può sempre.

Le matrici reali sono un caso particolare e la tesi è dimostrata.

[amel3]

Grazie...
Si può triangolarizzare senza l'uso della forma canonica di Jordan? Se sì, come? (scusa l'ignoranza...)

[Maxos2]

beh, certo, c'è il teorema che dimostra che in uno spazio complesso esiste una base a ventaglio, cioè fatta in modo tale che la matrice rappresentativa è triangolare con gli autovalori sulla diagonale, in questo caso naturalmente sono autovalori complessi, anche per una matrice reale, tuttavia se calcoli l'esponenziale e poi fai il determinante, ti viene l'exp della traccia, che sai essere un invariante per similitudini e dunque indipendente dalla rappresentazione matriciale e dunque, in caso di matrice reale, un numero reale.

[amel3]

ok, ho trovato la dimostrazione (per induzione) del teorema sulla triangolarizzazione su un testo...

[Maxos2]

ok