Domanda su geodetica

[paolo9993]

Sappiamo che la geodetica e' la linea più breve tra due punti. In qualsiasi geometria; nella geometria sferica e' il circolo massimo ,come ci si arriva? Grazie

[Luca.Lussardi]

Sposto in geometria, attenzione a selezionare per bene il forum dove postare. In realtà si dimostra che gli archi di geodetica minimizzano localmente la lunghezza. Per vederlo sulla sfera è facile, ma devi usare la definizione corretta di geodetica, cioé come curva autoparallela, ovvero il vettore velocità si sposta parallelamente a se stesso. Allora si vede subito che sulla sfera i circoli massimi, cioé i meridiani, sono geodetiche: infatti se vai lungo il meridiano a velocità costante l'accelerazione centripeta punta verso il centro della sfera e quindi, essendo il raggio ortogonale al piano tangente, tale accelerazione non ha componente tangenziale, e quindi la velocità ha derivata covariante zero, che equivale a dire che si sposta per parallelismo.