Domanda su Autovalori e diagonalizzabilità
Ciao a tutti,
Oggi ho svolto un esercizio che mi chiedeva di controllare se la matrice $ A = ((2,1,-1,-1),(1,3,-1,-1),(0,1,1,-1),(1,1,-1,0)) $
è diagonalizzabile.
Ho iniziato quindi a controllare gli autovalori, suddividendo la matrice in 4 sottomatrici 2x2 e calcolandomi gli autovalori delle matrici sulla diagonale principale $ ((2,1),(1,3)) e ((1,-1),(-1,0)) $
e con sorpresa mi trovo che gli autovalori sono solo 2, perchè dalla seconda sottomatrice non mi riesco a ricavare alcun autovalore.
Questo mio risultato influenza in qualche modo la diagonalizzabilità della matrice A?
Vi ringrazio in anticipo per la risposta.
Oggi ho svolto un esercizio che mi chiedeva di controllare se la matrice $ A = ((2,1,-1,-1),(1,3,-1,-1),(0,1,1,-1),(1,1,-1,0)) $
è diagonalizzabile.
Ho iniziato quindi a controllare gli autovalori, suddividendo la matrice in 4 sottomatrici 2x2 e calcolandomi gli autovalori delle matrici sulla diagonale principale $ ((2,1),(1,3)) e ((1,-1),(-1,0)) $
e con sorpresa mi trovo che gli autovalori sono solo 2, perchè dalla seconda sottomatrice non mi riesco a ricavare alcun autovalore.
Questo mio risultato influenza in qualche modo la diagonalizzabilità della matrice A?
Vi ringrazio in anticipo per la risposta.
Risposte
"peppe29":
Ho iniziato quindi a controllare gli autovalori, suddividendo la matrice in 4 sottomatrici 2x2 e calcolandomi gli autovalori delle matrici sulla diagonale principale $ ((2,1),(1,3)) e ((1,-1),(-1,0)) $
Dove hai trovato questo metodo per il calcolo degli autovalori??
E i blocchi $2\times 2$ che non sono sulla diagonale principale non li consideri?
Per trovare gli autovalori di una matrice devi innanzitutto trovare le radici del polinomio caratteristico...
Ciao, allora premetto che ho fatto i conti velocemente ma calcolando il determinante della matrice (A-tI) mi è uscito $t^4-6t^3+12t^2-9t+2$ che scomposto con ruffini esce: $(t-2)(t-1)(t^2-3t+1)$.
Da ciò possiamo ricavare se A è diagonalizzabile o meno:
Per esserlo devono essere soddisfatte due condizioni: 1) le soluzioni del polinomio devono appartenere tutte a K (in questo caso ad R), cioè il determinante che ti ho scritto lo poni uguale a 0 e ciò sarà vero per t= 2;1; $(3+sqrt(5))/2$; $(3-sqrt(5))/2$.
2) la molteplicità algebrica $a_t$ di ogni autovalore deve essere uguale alla rispettiva molteplicità geometrica $g_t$ (che altro non è che la dimensione del sottospazio relativo a quell' autovalore).
In questo caso hai 4 autovalori distinti con molteplicità 1 e ciò già ti fa concludere che tale matrice è diagonalizzabile in quanto il punto 2) per autovalori con molteplicità algebrica =1 è automaticamente verificato.
Spero di non aver fatto errori e di averti chiarito un pò...
Da ciò possiamo ricavare se A è diagonalizzabile o meno:
Per esserlo devono essere soddisfatte due condizioni: 1) le soluzioni del polinomio devono appartenere tutte a K (in questo caso ad R), cioè il determinante che ti ho scritto lo poni uguale a 0 e ciò sarà vero per t= 2;1; $(3+sqrt(5))/2$; $(3-sqrt(5))/2$.
2) la molteplicità algebrica $a_t$ di ogni autovalore deve essere uguale alla rispettiva molteplicità geometrica $g_t$ (che altro non è che la dimensione del sottospazio relativo a quell' autovalore).
In questo caso hai 4 autovalori distinti con molteplicità 1 e ciò già ti fa concludere che tale matrice è diagonalizzabile in quanto il punto 2) per autovalori con molteplicità algebrica =1 è automaticamente verificato.
Spero di non aver fatto errori e di averti chiarito un pò...
"cirasa":
[quote="peppe29"]
Ho iniziato quindi a controllare gli autovalori, suddividendo la matrice in 4 sottomatrici 2x2 e calcolandomi gli autovalori delle matrici sulla diagonale principale $ ((2,1),(1,3)) e ((1,-1),(-1,0)) $
Dove hai trovato questo metodo per il calcolo degli autovalori??
E i blocchi $2\times 2$ che non sono sulla diagonale principale non li consideri?
Per trovare gli autovalori di una matrice devi innanzitutto trovare le radici del polinomio caratteristico...[/quote]
Questo metodo me l'ha mostrato il prof. a lezione, e l'ho sempre utilizzato per qualsiasi matrice 4 x 4 ed ha sempre funzionato...
forse sono io che non l'ho capito bene...lui mi disse di suddividere la matrice in 4 sottomatrici 2x2...
però rileggendo gli esercizi in cui ho utilizzato questa tecnica, ho notato che le altre 2 matrici che "non uso" sono entrambe nulle...forse si può usare solo in questa situazione particolare...percaso voi ne sapete di più?
"anto.massy":
Ciao, allora premetto che ho fatto i conti velocemente ma calcolando il determinante della matrice (A-tI) mi è uscito $t^4-6t^3+12t^2-9t+2$ che scomposto con ruffini esce: $(t-2)(t-1)(t^2-3t+1)$.
Da ciò possiamo ricavare se A è diagonalizzabile o meno:
Per esserlo devono essere soddisfatte due condizioni: 1) le soluzioni del polinomio devono appartenere tutte a K (in questo caso ad R), cioè il determinante che ti ho scritto lo poni uguale a 0 e ciò sarà vero per t= 2;1; $(3+sqrt(5))/2$; $(3-sqrt(5))/2$.
2) la molteplicità algebrica $a_t$ di ogni autovalore deve essere uguale alla rispettiva molteplicità geometrica $g_t$ (che altro non è che la dimensione del sottospazio relativo a quell' autovalore).
In questo caso hai 4 autovalori distinti con molteplicità 1 e ciò già ti fa concludere che tale matrice è diagonalizzabile in quanto il punto 2) per autovalori con molteplicità algebrica =1 è automaticamente verificato.
Spero di non aver fatto errori e di averti chiarito un pò...
Si lo so che si dovrebbe svolgere il polinomio caratteristico...ma questa doveva essere una "scorciatoia"
e le radici di $ (t^2-3t+1) $ sono 1 e 2.....eheh, l'esercizio non poteva essere così facile
Si lo so che si dovrebbe svolgere il polinomio caratteristico...ma questa doveva essere una "scorciatoia"
e le radici di $ (t^2-3t+1) $ sono 1 e 2.....eheh, l'esercizio non poteva essere così facile
strano, nella geometria che uso io $1^2 -3*1+1=-1\ne 0$ e $2^2 -3*2 +1= -1 \ne 0$
o se vogliamo $(t-1)(t-2)=t^2-3t+2 \ne t^2 -3t +1$ però magari continuo a sbagliarmi io... ti ripeto che i conti li ho fatti di fretta...
Lascio il campo a gente più esperta di me che saprà di sicuro risponderti in maniera più adeguata... ciao
"anto.massy":Si lo so che si dovrebbe svolgere il polinomio caratteristico...ma questa doveva essere una "scorciatoia"
e le radici di $ (t^2-3t+1) $ sono 1 e 2.....eheh, l'esercizio non poteva essere così facile
strano, nella geometria che uso io $1^2 -3*1+1=-1\ne 0$ e $2^2 -3*2 +1= -1 \ne 0$
o se vogliamo $(t-1)(t-2)=t^2-3t+2 \ne t^2 -3t +1$ però magari continuo a sbagliarmi io... ti ripeto che i conti li ho fatti di fretta...
Lascio il campo a gente più esperta di me che saprà di sicuro risponderti in maniera più adeguata... ciao
Scusa...sono io che li ho fatti rapidamente a mente e ho sbagliato il delta della funzione
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