Domanda semplicissima
Qualcuno sa indicarmi come mostrare che il cono privato del vertice è localmente isometrico ad un piano (usando l'uguaglianza dei coefficienti di Gauss E,F,G)?
Grazie in ogni caso e ciao a tutti!
Grazie in ogni caso e ciao a tutti!
Risposte
Beh, è "semplicissima" ma un po' lunghetta da scrivere qui ... la trovi su tutti i testi di geometria differenziale assieme all'analoga del cilindro.
Comunque si parte dall'idea di "tagliare" il cono lungo una generatrice, "aprirlo" e "distenderlo" su un piano. Poi si devono trovare apposite parametrizzazioni per il cono e per il triangoloide ottenuto tagliando il cono e dimostrare che hanno gli stessi coefficienti della prima forma fondamentale ...
Comunque si parte dall'idea di "tagliare" il cono lungo una generatrice, "aprirlo" e "distenderlo" su un piano. Poi si devono trovare apposite parametrizzazioni per il cono e per il triangoloide ottenuto tagliando il cono e dimostrare che hanno gli stessi coefficienti della prima forma fondamentale ...
"arriama":
La trovi su tutti i testi di geometria differenziale assieme all'analoga del cilindro.
Ad esempio?
[/quote="arriama"]
Si devono trovare apposite parametrizzazioni per il cono e per il triangoloide ottenuto tagliando il cono e dimostrare che hanno gli stessi coefficienti della prima forma fondamentale ...[/quote]
E' proprio con una parametrizzazione giusta del piano che ho dei problemi, perchè per il cono prendiamo:
$ b:(0,2 pi)$x$$(0, +oo) -> RR^3, b(u, v)=(v cos u, v sin u, v)$
Così, $E^b=v^2, G^b=2, F^b=0$
Ma ora un piano come deve essere parametrizzato in modo da avere E,G,F uguali?
Ciao, comunque grazie per la risposta!
"arriama":
La trovi su tutti i testi di geometria differenziale assieme all'analoga del cilindro.
Ad esempio?
"arriama":
Si devono trovare apposite parametrizzazioni per il cono e per il triangoloide ottenuto tagliando il cono e dimostrare che hanno gli stessi coefficienti della prima forma fondamentale ...
E' proprio con una parametrizzazione giusta del piano che ho dei problemi, perchè per il cono prendiamo:
$ b: (0,2 pi)$x $(0, +oo) -> RR^3, b(u, v)=(v cos u, v sin u, v)$
Così, $E^b=v^2, G^b=2, F^b=0$
Ma ora un piano come deve essere parametrizzato in modo da avere E,G,F uguali?
Ciao, comunque grazie per la risposta![/quote]
La dimostrazione richiederebbe almeno un disegnino per capire come c'entra l'angolo di "apertura" del cono ed alcune formule.
Siccome è tutto chiaramente illustrato a pag. 223 e seg. del Do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces (testo direi "illuminante"), ad esso ti rimando, con la speranza che tu possa procurartelo.
Siccome è tutto chiaramente illustrato a pag. 223 e seg. del Do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces (testo direi "illuminante"), ad esso ti rimando, con la speranza che tu possa procurartelo.
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