Domanda semplice su rette sghembe
Ciao ragazzi,
Il mio libro di geometria dice che per dimostrare che due rette sono sghembe bisogna scegliere quattro punti arbitrari, di cui due su una retta e due sull' altra, e verificare se sono complanari. Se non sono complanari, allora le rette sono sghembe.
Mi chiedevo se si può dimostrare in un modo alternativo che mi sembra più semplice a livello di calcoli:
Si mostra che le due rette non hanno punti in comune e in più i loro vettori direzionali non sono proporzionali. Basta questo per dire che sono sghembe?
Il mio libro di geometria dice che per dimostrare che due rette sono sghembe bisogna scegliere quattro punti arbitrari, di cui due su una retta e due sull' altra, e verificare se sono complanari. Se non sono complanari, allora le rette sono sghembe.
Mi chiedevo se si può dimostrare in un modo alternativo che mi sembra più semplice a livello di calcoli:
Si mostra che le due rette non hanno punti in comune e in più i loro vettori direzionali non sono proporzionali. Basta questo per dire che sono sghembe?
Risposte
Si, certo. Ma alla fine i calcoli saranno gli stessi dell'altro metodo mi sa.
"dissonance":
Si, certo. Ma alla fine i calcoli saranno gli stessi dell'altro metodo mi sa.
A me sembra più semplice il mio metodo
Comunque grazie e alla prossima
Niente, figurati. Anche io farei come te, a caldo.
Dico che alla fine i conti vengono uguali perché per determinare un vettore direzionale di una retta in generale devi prendere due punti e farne la differenza. Per due rette c'è un totale di quattro punti. Devi poi verificare che i due vettori non siano proporzionali, che significa scrivere una matrice $2\times 3$ (o $3\times 2$, come preferisci) e calcolarne il rango.
Invece col metodo del professore prendi quattro punti $a, b, c, d$ e vedi se sono complanari, il che significa (correggimi se sbaglio) che devi calcolare il determinante della matrice \(3\times 3\)
\[
\begin{bmatrix}
b-a \\
c-a \\
d-a
\end{bmatrix}
\]
Calcolare il rango di una matrice \(3\times 2\) o calcolare il determinante di una matrice \(3\times 3\) è la stessa cosa come conti, più o meno.
P.S.: A pensarci meglio il metodo del prof vince. Noi, prima di calcolare il rango, dobbiamo verificare che le due rette non abbiano punti in comune. E questo significa risolvere un sistema lineare, e quindi una eliminazione di Gauss oppure una regola di Cramer.
Quindi alla fine vengono molti meno conti come dice lui.
Dico che alla fine i conti vengono uguali perché per determinare un vettore direzionale di una retta in generale devi prendere due punti e farne la differenza. Per due rette c'è un totale di quattro punti. Devi poi verificare che i due vettori non siano proporzionali, che significa scrivere una matrice $2\times 3$ (o $3\times 2$, come preferisci) e calcolarne il rango.
Invece col metodo del professore prendi quattro punti $a, b, c, d$ e vedi se sono complanari, il che significa (correggimi se sbaglio) che devi calcolare il determinante della matrice \(3\times 3\)
\[
\begin{bmatrix}
b-a \\
c-a \\
d-a
\end{bmatrix}
\]
Calcolare il rango di una matrice \(3\times 2\) o calcolare il determinante di una matrice \(3\times 3\) è la stessa cosa come conti, più o meno.
P.S.: A pensarci meglio il metodo del prof vince. Noi, prima di calcolare il rango, dobbiamo verificare che le due rette non abbiano punti in comune. E questo significa risolvere un sistema lineare, e quindi una eliminazione di Gauss oppure una regola di Cramer.
Quindi alla fine vengono molti meno conti come dice lui.
"dissonance":
Niente, figurati. Anche io farei come te, a caldo.
Dico che alla fine i conti vengono uguali perché per determinare un vettore direzionale di una retta in generale devi prendere due punti e farne la differenza. Per due rette c'è un totale di quattro punti. Devi poi verificare che i due vettori non siano proporzionali, che significa scrivere una matrice $2\times 3$ (o $3\times 2$, come preferisci) e calcolarne il rango.
Invece col metodo del professore prendi quattro punti $a, b, c, d$ e vedi se sono complanari, il che significa (correggimi se sbaglio) che devi calcolare il determinante della matrice \(3\times 3\)
\[
\begin{bmatrix}
b-a \\
c-a \\
d-a
\end{bmatrix}
\]
Calcolare il rango di una matrice \(3\times 2\) o calcolare il determinante di una matrice \(3\times 3\) è la stessa cosa come conti, più o meno.
P.S.: A pensarci meglio il metodo del prof vince. Noi, prima di calcolare il rango, dobbiamo verificare che le due rette non abbiano punti in comune. E questo significa risolvere un sistema lineare, e quindi una eliminazione di Gauss oppure una regola di Cramer.
Quindi alla fine vengono molti meno conti come dice lui.
Io ho ragionato cosi:
Se almeno una retta viene data in forma parametrica, allora verificare che le due rette non hanno punti in comune é banalissimo e non c' é bisogno di applicare il metodo di Gauss o di di Cramer per risolvere il sistema. A questo punto un vettore direzionale della retta in forma parametrica é subito dato dai coefficienti del parametro. Calcolare il vettore direzionale dell' altra retta (supponiamo data in forma cartesiana) é leggermente più laborioso perché c' é da calcolare 3 determinanti 2x2. Infine verificare che due vettori non sono proporzionali basta solo "un' occhiata", e non c' é bisognon di calcolare il rango di una matrice 2x3 o 3x2.
Se invece tutte e due le rette sono date in forma cartesiana bisognerebbe dimostrare che il sistema formato dalle 4 equazioni é incompatibile, e in effetti é più complicato. Forse in questo caso sarebbe più conveniente passare dalle cattesiane alla parametriche.
Comunque faccio tutto questo per evitare quella procedura sopratutto perché mi dimentico sempre come verificare che 4 punti sono complanari XD
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo