Domanda semplice ma urgente

[amel3]

So che faccio una domanda indegna, però ho appena ripreso a studiare e sto riaprendo il cervello piano piano...
Su una dispensa leggo che in pratica se considero il piano $RR^2$ e le curve di livello $f(x,y)=c, \ \ c in RR^+$ (f di classe $C^1$ con differenziale nullo), allora per un qualunque punto $(x_0, y_0)$ passa una sola di queste curve.
Lo so dovrei saperlo fare, ma sono un maestro a complicare le cose ancor di più quando sono semplicissime e in più ho fretta di andare avanti. Chi mi dà una mano? Grazie.
Ciao.

[ficus2002]

"amel":So che faccio una domanda indegna, però ho appena ripreso a studiare e sto riaprendo il cervello piano piano...
Su una dispensa leggo che in pratica se considero il piano $RR^2$ e le curve di livello $f(x,y)=c, \ \ c in RR^+$ (f di classe $C^1$ con differenziale nullo), allora per un qualunque punto $(x_0, y_0)$ passa una sola di queste curve.
Lo so dovrei saperlo fare, ma sono un maestro a complicare le cose ancor di più quando sono semplicissime e in più ho fretta di andare avanti. Chi mi dà una mano? Grazie.
Ciao.

Se $c_0:=f(x_0,y_0)$, allora per $(x_0,y_0)$ passa la curva di livello $f(x,y)=c_0$. Le curve di livello sono a due a due disgiunte, così per $(x_0,y_0)$ non passano altre curve di livello.

[amel3]

Grazie intanto per la risposta. Allora perchè nella dispensa vengono imposte le condizioni di regolarità sulla f?

[Fioravante Patrone1]

boh!

non servono a niente, rispetto al punto in questione!
servono ad altro. Ad es., a dire che l'insieme di livello sia davvero, almeno localmente, una curva. Pensa ad una funzione costante...

se vuoi, puoi ricopiare esattamente il testo che ti lascia perplesso

[amel3]

"Fioravante Patrone":Ad es., a dire che l'insieme di livello sia davvero, almeno localmente, una curva. Pensa ad una funzione costante...

Uhm sì direi che è così, mi sa che era solo un po' detto male nella dispensa. Grazie mille (puntuali come sempre)!