Domanda molto banale!
Perchè la distanza nel piano cartesiano tra due punti non dipende dall'ordine dei punti!? banalmente una distanza è sempre uguale a se stessa, ma dal punto di vista matematico, cosa ci garantisce di trovare ad esempio, per due punti su una retta, lo stesso valore, sia che prendo come primo punto quello con la coordinata maggiore sia quello con la coordinata minore!? sono proprietà relative ai numeri interi!? chiaramente se ne fa il valore assoluto, ma mi riferisco al modulo che è sempre uguale! scusate la banalità...
Risposte
Provo a risponderti io, ma sicuramente ci sarà gente piu preparata.
Quando ad uno spazio associ una funzione detta distanza, richiedi esplicitamente tra le proprietà di questa funzione la simmetria. Ossia che $d(x,y)=d(y,x)$. Una funzione che non soddisfa questa proprietà non può essere utilizzata per determinare la distanza fra due punti! Se in $R$ consideri la funzione distanza valore assoluto, è una proprietà stessa della funzione che |x-y| = |y-x|.
Quando ad uno spazio associ una funzione detta distanza, richiedi esplicitamente tra le proprietà di questa funzione la simmetria. Ossia che $d(x,y)=d(y,x)$. Una funzione che non soddisfa questa proprietà non può essere utilizzata per determinare la distanza fra due punti! Se in $R$ consideri la funzione distanza valore assoluto, è una proprietà stessa della funzione che |x-y| = |y-x|.
Se intuitivamente ci sei, passiamo alla dimostrazione rigorosa.
Sarai d'accordo che la distanza fra due punti $P(x_1,...,x_n)$ e $Q(y_1,...,y_n)$ è per definizione $d(P,Q)=sqrt((y_1-x_1)^2 + ... + (y_n-x_n)^2)$ allora capirai che la distanza fra due punti della retta reale, che anzichè coordinate generiche $(x_1,...,x_n)$ hanno semplicemente una coordinata , chiamandoli $x$ e $y$, la distanza sarà $sqrt((y-x)^2)$ che, per definizione di valore assoluto, coincide con $|y-x|$. E' facile verificare che $(y-x)^2 = (x-y)^2$,
e questo vale anche nel piano, vale anche in generale in $mathbbR^n$. Quindi ciò che usi è che, nello specifico, $-2xy = -2yx$ cioè la proprietà commutativa del prodotto fra numeri reali. Quindi puoi dire che $forall x in mathbbR : |y-x| = |x-y|$.
Quindi non conta per niente l'ordine in cui vengono considerati (fai conto che in $mathbbR^2$ l'ordine non c'è!!! Eppure continua a valere $d(P,Q)=d(Q,P)$)
Dunque il valore assoluto è una distanza (fra l'altro verifica anche le altre proprietà della definizione di "distanza").
Ecco come mai vale sempre ciò di cui ti interessa capire "come mai vale".
Sarai d'accordo che la distanza fra due punti $P(x_1,...,x_n)$ e $Q(y_1,...,y_n)$ è per definizione $d(P,Q)=sqrt((y_1-x_1)^2 + ... + (y_n-x_n)^2)$ allora capirai che la distanza fra due punti della retta reale, che anzichè coordinate generiche $(x_1,...,x_n)$ hanno semplicemente una coordinata , chiamandoli $x$ e $y$, la distanza sarà $sqrt((y-x)^2)$ che, per definizione di valore assoluto, coincide con $|y-x|$. E' facile verificare che $(y-x)^2 = (x-y)^2$,
e questo vale anche nel piano, vale anche in generale in $mathbbR^n$. Quindi ciò che usi è che, nello specifico, $-2xy = -2yx$ cioè la proprietà commutativa del prodotto fra numeri reali. Quindi puoi dire che $forall x in mathbbR : |y-x| = |x-y|$.
Quindi non conta per niente l'ordine in cui vengono considerati (fai conto che in $mathbbR^2$ l'ordine non c'è!!! Eppure continua a valere $d(P,Q)=d(Q,P)$)
Dunque il valore assoluto è una distanza (fra l'altro verifica anche le altre proprietà della definizione di "distanza").
Ecco come mai vale sempre ciò di cui ti interessa capire "come mai vale".
Bellissima e concisa spiegazione. E' banale magari, ma nemmeno più di tanto nel senso che non ho trovato da nessuna parte una spiegazione del genere pur cercandola molto. Ma ero sicuro che mancava qlcosa! 
Se non fai matematica pura forse nessuno te lo dirà! La gran parte delle fonti si limitano a dare la formula della distanza euclidea! Grz wide! e gra anche a Vanzan! Questo sito è uno dei più interessanti del Web! grz ragazzi! 
Se non fai matematica pura forse nessuno te lo dirà! La gran parte delle fonti si limitano a dare la formula della distanza euclidea! Grz wide! e gra anche a Vanzan! Questo sito è uno dei più interessanti del Web! grz ragazzi!
Diciamo che in genere questo dovrebbe essere posto come esercizio! molti libri di Analisi e Topologia lo propongono così. Ti fa esercitare a capire le definizioni. Potresti anche ad esempio provare che $|x-y| = |y-x|$ usando l'altra definizione di valore assoluto che è in generale $|x|= max{-x,x}$ oppure, ancora:
" $|x|= x$ ( se $xgeq0$) o $|x|=-x$ (se $x<0$) "
..Che è la più comune.
Buono studio!
" $|x|= x$ ( se $xgeq0$) o $|x|=-x$ (se $x<0$) "
..Che è la più comune.
Buono studio!
Grazie mille! proverò con le altre!!! buona giornata
buona giornata
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