Domanda matrice ortogonale

[_Matteo_C1]

Ragazzi, avrei bisogno di una mano nel dimostrare che una matrice cambiamento di base tra due basi ortonormali è sempre ortogonale.

A lezione è stata spiegata così:

Sia $(V, (, ))$ uno spazio vettoriale euclideo finitamente generato di dimensione $n$. Siano$ B$ e$ C$ basi di $V$ e supponiamo che $B$ sia ortonormale. La matrice del cambiamento di base$ A := M_(C)^B(Id_v)$ è ortogonale se e solo se C e anch'essa una base ortonormale.

Infatti siccome B è ortonormale si ha che

$(v, w) = X(v)^t X(w)$

dove $v, w \in V$ e $X(v)$ sono le coordinate di v rispetto a $B$. La matrice $A$ ha per colonne $A_1, ..., A_n$ i vettori delle coordinate degli elementi di $C$; quindi $C$ è ortonormale se e solo se
$(A_i)^t A_j = \delta_(ij)$
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Non la capisco proprio...

[orazioster]

Perchè $A^TA$, essendo $B$ ortonormale,
è appunto lo stesso che il prodotto scalare tra i vettori della base $C$, ciascuno con gli altri.
Per cui, se $C$ è ortonormale, $A^TA=I$.

Nota: la matrice $A$, come definita, è di cambiamento
di base da $C$ a $B$.
la matrice di cambiamento di base da $B$ a $C$ è $A^-1$.
Se $A$ è ortonormale, ovviamente lo è $A^-1 (=A^T)$