Domanda geometria (nucleo e immagine)

[pistoleo]

ciao a tutti 2 giorni fa ho fatto l'esame di geometria c'era un esercizio dove mi dava un vettore w=(1;-2;1) e un endomorfismo in R^3 definito da un prodotto vettoriale una domanda mi chiedeva di calcolare le dimensioni del nucleo e dell'immagine dell'endomorfismo e fino a qui tutto ok perché bastava fare il prodotto vettoriale e calcolare la matrice associata
pero poi un'altra domanda mi chiedeva cosa rappresentavano nello spazio le dimensione del nucleo e dell'immagine qualcuno sa rispondere a questa domanda?

[pigrecoedition]

Scusi può essere più specifica, è stata troppo generica.

[edmz]

Sia $\psi$ la tua trasformazione lineare, $ k = \dim\text{ker}\psi, n = \dim\text{Im}\psi$. Supponiamo $ k = 0$; allora, l'unica soluzione del sistema omogeneo associato -ovverosia i vettori di $\text{ker}\psi$- è quella banale, cioè\(\displaystyle \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix} \) . Puoi immediatamente osservare che questo corrisponde ad un punto $\in S_3$. Per $ k = 1$, hai un grado di libertà e quindi le soluzioni saranno della forma $\{(a, b, c) \ a,b \in \mathbb R, \forall c \in \mathbb R\}$; è dunque chiaro vedere che tale soluzione porta a 2 equazioni (del sistema) ed una variabile libera, cioè proprio l'equazione di una retta nello spazio. Stesso ragionamento vale per $k=2$, onde avrai invece un piano.

Chiaramente il discorso è speculare per $\text{Im}\psi$, ma in generale per qualsiasi sottospazio.