Domanda geometria

[pistoleo]

ciao a tutti vi propongo il seguente quesito:
Siano V, W due spazi vettoriali della stessa dimensione n. Sia T : V → W un endomorfismo:

a) se T è iniettivo allora per ogni w∈W esiste un unico v∈V tale cheT(v)=w

b)se la collezione di vettori (v1,.....,vk) sono linearmente indipendenti allora {T(v1),.....,T(vk)} è linearmente indipendente(c)

c)Se il nucleo di T ha dimensione 0, esistono una base di V e una base di W tale che la matrice
associata a T in tali basi è la matrice identica.

d) Se {T(v1),...,T(vk)} è linearmente indipendenti, allora {v1,...,vk} `e linearmente indipen-
denti.

allora il punto a e il punto d sono esatti ora il problema è che la prof nella soluzione mette come corretto anche il punto c e non capisco il perché qualcuno mi può aiutare? grazie

[pistoleo]

qualcuno mi risponde ho l'esame domani
grazie

[spugna2]

Se $T$ ha nucleo banale manda vettori indipendenti in vettori indipendenti, quindi, dato che le dimensioni sono uguali, base di $V$ viene mandata una base di $W$, e la matrice che rappresenta $T$ rispetto a tali basi è chiaramente l'identità.

[pistoleo]

ok grazie mille gentilissimo