Domanda facile su sistema lineare

[Sk_Anonymous]

Ciao, sto studiando con calma algebra lineare, che non ho mai studiato, e ho da farvi questa domanda che per molti di voi sarà stupida. Dopo aver risolto un certo sistema lineare con l'eliminazione di Gauss, mi ritrovo con questo sistema equivalente:

$ { ( x+3y-z=8 ),( -7y+4z=-14 ),( 0=0 ):} $

Adesso volevo capire secondo quale criterio la variabile libera, che chiamo con $t$, è proprio $z$. Perchè non è $x$ o $y$? Insomma, perchè proprio $z$ è la variabile libera? Grazie mille

[_prime_number]

La variabile libera può essere quella che vuoi tu. Ti conviene scegliere una che sia presente in entrambe le equazioni rimaste per risparmiarti lavoro successivo di far comparire il parametro anche nell'altra.

Paola

[Sk_Anonymous]

Ok, grazie, quindi, quando ho per esempio un sistema dove le incognite superano di un unità le equazioni, ci sarà per forza una variabile libera che posso scegliere io?

[_prime_number]

In generale se ti trovi un sistema indeterminato, cioè N incognite e M equazioni con N>M, puoi arbitrariamente scegliere N-M incognite per farle divenire variabili libere.

Paola

[Sk_Anonymous]

Ciao, che significa che un sottoinsieme è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalari?

[_prime_number]

Che se prendi due elementi dell'insieme $a,b\in S$ e li sommi con l'operazione di somma che hai sull'insieme, ottieni un elemento che è ancora dentro all'insieme, cioè $a+b\in S$. Esempio: ($\mathbb{R}$, +) dove + è la somma canonica è chiuso rispetto al +: se sommi due reali ottieni un numero reale.
Controesempio: $\mathbb{N}$ non è chiuso rispetto all'operazione -, perchè ad esempio 5-10 non è un naturale.

Idem per la moltiplicazione per scalari.

Paola

[Sk_Anonymous]

Ok, grazie mille, ora mi è chiaro.

[Sk_Anonymous]

Ciao, come faccio a verificare che i vettori di questo insieme sono linearmente indipendenti?
$ {: ( 1 ),( 1 ),( 3 ) :} $ $ {: ( -1 ),( 2 ),( 1 ) :}$ ${: ( 0 ),( 6 ),( 8 ) :}$

I numeri scritti in colonna nelle tre matrici 3X1 (sono separate), rappresentano le 3 coordinate dei 3 vettori dell'insieme?

[Camillo]

I tre vettori sono linearmente dipendenti perchè il rango della matrice è 2 e non 3 .