Domanda di Topologia
Buongiorno,qualcuno di voi conosce un buon riferimento a proposito di quel teorema che afferma che ogni insieme connesso per archi è pure connesso(vanno bene pure risposte autoreferenziali)Naturalmente intendo la dimostrazione.Grazie.
Risposte
Prova sul Sernesi 2.
Di solito questa è un'osservazione che segue alla definizione di connessione per archi su ogni libro.
Paola
Di solito questa è un'osservazione che segue alla definizione di connessione per archi su ogni libro.
Paola
Provo a darne una dimostrazione (non a memoria).
Un arco è una funzione da \(\displaystyle I \) all'insieme. A questo punto suppongo per assurdo che uno spazio \(\displaystyle C \) sia sconnesso ma connesso per archi. Siano \(\displaystyle C_1 \) e \(\displaystyle C_2 \) due sue componenti (non necessariamente connesse ma sconnesse tra di loro).
Siano \(\displaystyle x\in C_1 \) e \(\displaystyle y\in C_2 \) e \(\displaystyle f\colon x\to y \) un arco tra di loro (uso una notazione non standard per i cammini solo per non mettermi a scrivece tutte le condizioni) Allora \(\displaystyle f(I) = (C_1\cap f(I))\cup (C_2\cap f(I))\) che è assurdo perché si ha un connesso a sinistra e uno spazio sconnesso a destra.
Un arco è una funzione da \(\displaystyle I \) all'insieme. A questo punto suppongo per assurdo che uno spazio \(\displaystyle C \) sia sconnesso ma connesso per archi. Siano \(\displaystyle C_1 \) e \(\displaystyle C_2 \) due sue componenti (non necessariamente connesse ma sconnesse tra di loro).
Siano \(\displaystyle x\in C_1 \) e \(\displaystyle y\in C_2 \) e \(\displaystyle f\colon x\to y \) un arco tra di loro (uso una notazione non standard per i cammini solo per non mettermi a scrivece tutte le condizioni) Allora \(\displaystyle f(I) = (C_1\cap f(I))\cup (C_2\cap f(I))\) che è assurdo perché si ha un connesso a sinistra e uno spazio sconnesso a destra.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo