Domanda di Topologia
Salve a tutti, sono nuovo su questo forum
Immagino che quella che sto per fare sia una domanda ciclica, però facendo la ricerca
nel forum non ho trovato niente che mi abbia aiutato
Vorrei capire, in primo luogo concettualmente, cosa significa insieme
Denso (in un altro).
in un altro topic alcuni avevano dato la definizione usando i concetti
di "chiusura" di "punto aderente", che onestamente non ho ben chiare.
Vanno benissimo anche definizioni rozze, l'importante che diano possano
dare un'idea chiara del concetto.
grazie in anticipo
Immagino che quella che sto per fare sia una domanda ciclica, però facendo la ricerca
nel forum non ho trovato niente che mi abbia aiutato
Vorrei capire, in primo luogo concettualmente, cosa significa insieme
Denso (in un altro).
in un altro topic alcuni avevano dato la definizione usando i concetti
di "chiusura" di "punto aderente", che onestamente non ho ben chiare.
Vanno benissimo anche definizioni rozze, l'importante che diano possano
dare un'idea chiara del concetto.
grazie in anticipo
Risposte
In $RR$ (supponendo di avere la topologia standard) ad esempio, si può dimostrare che un insieme $C$ è denso (in $RR$) se
1) per tutti gli $epsilon > 0$ e per tutti i punti $x \in RR$ esiste un punto $y in C$ per cui $|y-x| < \epsilon$,
(ovvero ogni punto di $RR$ è sempre relativamente vicino ad un punto in $C$)
2) Per ogni punto $x \in RR$ esiste una successione $(x_n)_(n in NN)$ in $C$ convergente a $x$.
(ancora, questo dice in parole povere che ogni punto di $RR$ è sempre in qualche modo nelle vicinanze di almeno un punto di $C$)
In parole povere non conta che elemento prendi in $RR$, tu troverai sempre un elemento in $C$ che sarà in qualche modo molto vicino al tuo numero, di una misura che vorrai (la tua $\epsilon >0$).
Ad esempio abbiamo che $QQ$ è denso in $RR$ perché ogni punto di $RR$ può essere approssimato relativamente bene (nella misura che vogliamo) da una frazione, ovvero un elemento di $QQ$.
Puoi applicare questo stesso ragionamento a qualsiasi spazio metrico $X$ (in particolare agli spazi di Banach), sostituendo il valore assoluto con la norma in (1), e utilizzando la convergenza in spazi di Banach in (2).
1) per tutti gli $epsilon > 0$ e per tutti i punti $x \in RR$ esiste un punto $y in C$ per cui $|y-x| < \epsilon$,
(ovvero ogni punto di $RR$ è sempre relativamente vicino ad un punto in $C$)
2) Per ogni punto $x \in RR$ esiste una successione $(x_n)_(n in NN)$ in $C$ convergente a $x$.
(ancora, questo dice in parole povere che ogni punto di $RR$ è sempre in qualche modo nelle vicinanze di almeno un punto di $C$)
In parole povere non conta che elemento prendi in $RR$, tu troverai sempre un elemento in $C$ che sarà in qualche modo molto vicino al tuo numero, di una misura che vorrai (la tua $\epsilon >0$).
Ad esempio abbiamo che $QQ$ è denso in $RR$ perché ogni punto di $RR$ può essere approssimato relativamente bene (nella misura che vogliamo) da una frazione, ovvero un elemento di $QQ$.
Puoi applicare questo stesso ragionamento a qualsiasi spazio metrico $X$ (in particolare agli spazi di Banach), sostituendo il valore assoluto con la norma in (1), e utilizzando la convergenza in spazi di Banach in (2).
se vuoi un riferimento ti consiglio "Linear operator theory in engineering and science" di Naylor and Sell della Springer-Verlag
per me è stato illuminante
a te servono i primi capitoli:
parte col vedere che succede negli spazi metrici, quelli in cui abbiamo un intuizione derivante da $RR^n$
dopo di che ti fa vedere come si può "salire di livello" astraendo e definendo gli spazi topologici
per gli ultimi ti indica solo la via non si addentra oltre, ma se vuoi qualcosa sugli spazi topologici ci sono altri validi testi. Secondo me il migliore è il singer thorpe, chiaro e deciso, arriva al punto in una ventina di pagine.
per me è stato illuminante
a te servono i primi capitoli:
parte col vedere che succede negli spazi metrici, quelli in cui abbiamo un intuizione derivante da $RR^n$
dopo di che ti fa vedere come si può "salire di livello" astraendo e definendo gli spazi topologici
per gli ultimi ti indica solo la via non si addentra oltre, ma se vuoi qualcosa sugli spazi topologici ci sono altri validi testi. Secondo me il migliore è il singer thorpe, chiaro e deciso, arriva al punto in una ventina di pagine.
"gtr84":Puoi anche vederla così: $Y subseteq X$ si dice denso in $X$ se $Y$ interseca ogni aperto non vuoto di $X$. Equivalentemente la chiusura di $Y$ in $X$ coincide con $X$ (ricorda che la chiusura di $Z subseteq X$ è l'intersezione dei chiusi di $X$ che contengono $Z$).
Vorrei capire, in primo luogo concettualmente, cosa significa insieme
Denso (in un altro).
in un altro topic alcuni avevano dato la definizione usando i concetti
di "chiusura" di "punto aderente", che onestamente non ho ben chiare.
Un punto di $X$ si dice aderente a $Z subseteq X$ se appartiene alla chiusura di $Z$. Negli spazi metrici, ciò equivale a dire che esiste una successione in $Z$ che converge a tale punto in $X$.
ESEMPIO: $X$ è denso in $X$ (ovvio).
ESEMPIO: $QQ$ è denso in $RR$ perché ogni aperto di $RR$ è unione di aperti del tipo $(a,b)$ con $a
ESEMPIO: $(0,1)$ è denso in $[0,1]$ perché l'unico chiuso di $[0,1]$ che contiene $(0,1)$ è $[0,1]$.
ESEMPIO (un po' più elaborato): definisci su $NN$ la seguente topologia: dici che i chiusi di $NN$ sono $NN$ e i sottoinsiemi finiti di $NN$. Gli aperti risultano essere il vuoto e i sottoinsiemi cofiniti (cioè a complementare finito) di $NN$. E' facile verificare che in questo caso due aperti non vuoti si intersecano (ovvio: l'unione di due chiusi propri non può dare $NN$). Quindi in questo spazio ogni aperto non vuoto è denso.
Esistono esempi ancora più mostruosi (la topologia di Zariski sullo spettro di un dominio d'integrità) in cui un punto ${x}$ è denso in $X$.
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