Domanda di teoria e sistema parametrico

[Darèios89]

La domanda è:

Quand'è che un sistema ammette una sola soluzione e bisogna calcolarsela?
Quand'è che un sistema ammette una soluzione e NON bisogna calcolarsela perchè è quella banale?

Ho questo sistema lineare:

[tex]\left\{\begin{matrix}
x+ky+z=0\\
2x+ky-3z=0\\
x-y=0\\

4x+5y+2kz=0\end{matrix}\right.[/tex]

Ho provato a risolverlo e dopo una serie di riduzioni ho ottenuto:

[tex]\begin{pmatrix}
1 &k &1 \\
1& 0 &-4 \\
4k+5&0 &0
\end{pmatrix}[/tex]

Praticamente se k=0 il sistema ammette [tex]\infty ^{1}[/tex]soluzioni.

Se k diverso da 0 il sistema dovrebbe ammettere un'unica soluzione, quella banale.

Ancora non sono il mio forte i sistemi, se è sbagliato un docente lo valuterebbe -20
Voi che ne dite?

[misanino]

"guitarplaying":La domanda è:

Quand'è che un sistema ammette una sola soluzione e bisogna calcolarsela?
Quand'è che un sistema ammette una soluzione e NON bisogna calcolarsela perchè è quella banale?

Ho questo sistema lineare:

[tex]\left\{\begin{matrix}
x+ky+z=0\\
2x+ky-3z=0\\
x-y=0\\

4x+5y+2kz=0\end{matrix}\right.[/tex]

Ho provato a risolverlo e dopo una serie di riduzioni ho ottenuto:

[tex]\begin{pmatrix}
1 &k &1 \\
1& 0 &-4 \\
4k+5&0 &0
\end{pmatrix}[/tex]

Praticamente se k=0 il sistema ammette [tex]\infty ^{1}[/tex]soluzioni.

Se k diverso da 0 il sistema dovrebbe ammettere un'unica soluzione, quella banale.

Ancora non sono il mio forte i sistemi, se è sbagliato un docente lo valuterebbe -20
Voi che ne dite?

Un sistema omogeneo (termini noti nulli) come quello che hai scritto tu può:
avere una sola soluzione e quindi è quella banale
avere infinite soluzioni (che possono essere $\infty^1$, $\infty^2$,...)

Un modo per determinare il numero di soluzioni è scrivere la matrice associata al sistema e determinarne il rango.
Ora hai 3 incognite (x,y,z) e 4 equazioni e quindi la matrice associata a tale sistema è una 4x3.
Essa è:
$((1,k,1),(2,k,-3),(1,-1,0),(4,5,2k))$
Se essa ha rango 3, allora il sistema ammette solo la soluzione banale.
Se ha rango 2 hai $\infty^1$ soluzioni
Se ha rango 1 ha $\infty^2$ soluzioni.

Nota che nel tuo esercizio le cose possono essere semplificate perchè dalla terza equazioni ricavi $x=y$
Puoi allora togliere tutte le x e scrivere solo le y e considerare quindi un sistema di 2 incognite (y,z) e 3 equazioni (la 1°,la 2° e la 4° del sistema di partenza)
Puoi quindi calcolare il rango della matrice associata a tale sistema (che sarà una 3x2) e se essa avrà rango massimo, cioè rango 2, allora il tuo sistema ammetterà solo la soluzione banale

Per trovare le soluzioni (laddove non esista solo quella banale) puoi fare la riduzione a gradini della matrice associata al sistema