Domanda di esame.
Una mia amica all'esame di geometria e algebra lineare ha avuto come prima domanda, all'apparenza 'banale', questa:
Cosa è una associazione, e definisci l'applicazione tra due insiemi.
La mia amica ha risposto così:
Dicesi applicazione una legge che associa ad ogni oggetto di $A$ un unico oggetto di $B$.
Una relazione tra 2 insiemi è una applicazione.
Un esempio è la relazione che c'è tra dominio e codominio.
Stizzito il professore le chiede.
'E allora dimmi il dominio di $f(x)=sqrt(4)$ e il suo codominio'.
Non ha risposto e l'ha bocciata.
Io, ho perso il filo del discorso, perchè ero convinto anche io nella definizione che aveva dato di applicazione.
La mia domanda che vi pongo, per chiarirmi un pò le idee: come avresti risposto voi? :S
Grazie.
Cosa è una associazione, e definisci l'applicazione tra due insiemi.
La mia amica ha risposto così:
Dicesi applicazione una legge che associa ad ogni oggetto di $A$ un unico oggetto di $B$.
Una relazione tra 2 insiemi è una applicazione.
Un esempio è la relazione che c'è tra dominio e codominio.
Stizzito il professore le chiede.
'E allora dimmi il dominio di $f(x)=sqrt(4)$ e il suo codominio'.
Non ha risposto e l'ha bocciata.
Io, ho perso il filo del discorso, perchè ero convinto anche io nella definizione che aveva dato di applicazione.
La mia domanda che vi pongo, per chiarirmi un pò le idee: come avresti risposto voi? :S
Grazie.
Risposte
Non ho capito la tua domanda.
Associazione sta per? Ammetto di non aver mai incontrato questo termine nel corso dei miei studi.
Data un insieme $N$ una relazione su $N$ è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $N \times N$.
Le applicazioni (o funzioni) sono delle particolari relazioni in cui ad ogni elemento del primo insieme $A$ viene associato un unico e ben determinato elemento dell'insieme $B$. (stiamo pensando quindi al prodotto cartesiano $A \times B$).
Ergo una relazione tra due insiemi non è necessariamente un'applicazione. Inoltre non capisco l'esempio di relazione proposto dalla tua collega.
Tra l'altro, nell'esempio proposto dal tuo professore, essendo un'applicazione costante le risposte potevano essere in entrambi i casi molteplici...
Associazione sta per? Ammetto di non aver mai incontrato questo termine nel corso dei miei studi.
Data un insieme $N$ una relazione su $N$ è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $N \times N$.
Le applicazioni (o funzioni) sono delle particolari relazioni in cui ad ogni elemento del primo insieme $A$ viene associato un unico e ben determinato elemento dell'insieme $B$. (stiamo pensando quindi al prodotto cartesiano $A \times B$).
Ergo una relazione tra due insiemi non è necessariamente un'applicazione. Inoltre non capisco l'esempio di relazione proposto dalla tua collega.
Tra l'altro, nell'esempio proposto dal tuo professore, essendo un'applicazione costante le risposte potevano essere in entrambi i casi molteplici...
Per l'appunto nell'esempio fatto: il dominio è un qualsiasi insieme non vuoto ed il codominio è un qualsiasi insieme contenente [tex]\sqrt4=2[/tex]
"mistake89":
Non ho capito la tua domanda.
Associazione sta per? Ammetto di non aver mai incontrato questo termine nel corso dei miei studi.
Data un insieme $N$ una relazione su $N$ è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $N \times N$.
Le applicazioni (o funzioni) sono delle particolari relazioni in cui ad ogni elemento del primo insieme $A$ viene associato un unico e ben determinato elemento dell'insieme $B$. (stiamo pensando quindi al prodotto cartesiano $A \times B$).
Ergo una relazione tra due insiemi non è necessariamente un'applicazione. Inoltre non capisco l'esempio di relazione proposto dalla tua collega.
Tra l'altro, nell'esempio proposto dal tuo professore, essendo un'applicazione costante le risposte potevano essere in entrambi i casi molteplici...
Infatti l'esempio del mio collega, era sbagliatissimo.
Sugli appunti presi in classe però ritrovo sugli appunti che il prof fece:
$A->B$ (sulla freccia mise una $f$)
e $A$ rappresentava il dominio $B$ il codominio.
Allora è un esempio di 'non applicazione'?
O cosa vuol dire questo esempio?
Per le tue citazione sul 'prodotto cartesiano $NxN$ è azzeccatissima.
Tuttavia il prof ci dettò a lezione la definizione di applicazione:
'L'applicazione si chiama funzione quando dominio e codominio sono insiemi numerici'.
E fa l'esempio:
$f: x->x^2$
e dice:
'questa è una applicazione perchè ad ogni $x$ c'è solo un quadrato, dunque il prodotto è univoco'.
Delucidami *_*
Quelli che hai scritto son simboli, che indicano dominio e codominio, mentre l'applicazione è la $f$... è quella la legge (o se preferisci sottoinsieme "speciale" del prodotto cartesiano), l'applicazione.
Questa cosa io non la so, quindi non mi pronuncio, ma credo sia solo una questione di terminologia.
L'applicazione si chiama funzione quando dominio e codominio sono insiemi numerici
Questa cosa io non la so, quindi non mi pronuncio, ma credo sia solo una questione di terminologia.
"mistake89":
Quelli che hai scritto son simboli, che indicano dominio e codominio, mentre l'applicazione è la $f$... è quella la legge (o se preferisci sottoinsieme "speciale" del prodotto cartesiano), l'applicazione.
L'applicazione si chiama funzione quando dominio e codominio sono insiemi numerici
Questa cosa io non la so, quindi non mi pronuncio, ma credo sia solo una questione di terminologia.
ecco tutta questione di terminologia, è proprio lì la sottigliezza.
(Io dopo che ho letto i post.) 
(Quello che vi farei se fossi un vostro docente!)Prima che proponga la vostra radazione dall'albo dei laureati e l'esiliazione dal mondo della matematica
ecco la definizione di applicazione tra insiemi non vuoti.Siano [tex]A;B\neq\emptyset[/tex] insiemi non vuoti (di lupi, capre, cavoli, agnelli, e.o.) si dice corrispondenza [tex]f[/tex] tra essi una coppia [tex](A\times B;G)[/tex] con [tex]\emptyset\neq G\subseteq A\times B[/tex] in cui: [tex]\forall (a;b)\in G\Rightarrow f(a)=b[/tex] (si noti che "sopra la freccia" non si mette def. in quanto la corrispondenza non è ancora definita ma è in fase di definizione o costruzione).
Gli elementi in [tex]G[/tex] sono scelti ad arbitrio di chi (qualsiasi entità capace di intendere ciò che sto facendo) vuole definire [tex]f[/tex]. Nulla vieta le eventualità che [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] siano o non siano lo stesso insieme, basta che siano non vuoti (lo ripeto).
Essa [tex]f[/tex] è una funzione di dominio [tex]A[/tex] e codominio [tex]B[/tex] quando ad ogni elemento di [tex]A[/tex] è associabile al più, cioé uno solo o nessun, elemento di [tex]B[/tex].
Se potesse essere [tex]G=\emptyset[/tex] si avrebbe la cosiddetta relazione vuota; ogni elemento di [tex]A[/tex] non è associato ad alcun elemento di [tex]B[/tex], ma non tutti matematici concordano sul suo essere o non essere (questo non è un problema perché seppur fosse sarebbe inutile).
Chiaro?
"j18eos":Per niente. Ti consiglio di dirlo di nuovo e per bene [size=75]o bisognerà proporre te per la radiazione dall'albo dei matematici[/size].
Chiaro?
Suggerirei a clever di partire con la comprensione del concetto di "relazione binaria" (è spiegato benino su Wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Relazione_binaria) e poi di capire il concetto di "applicazione" (di cui "funzione" è un sinonimo) che ne è un sottoinsieme. E poi una bacchettata: clever, ma non avevi già affrontato l'esame di Analisi 1? E come hai fatto, senza sapere per bene cosa è una funzione???
C'è qualche errore che mi sfugge? Secondo il mio libro di algebra no; forse per i più intransigenti non dovevo scrivere relazione ma corrispondenza (come poi ho corretto)!
O sono i miei commenti fuorvianti? Li posso mettere come note a fondo post!
O sono i miei commenti fuorvianti? Li posso mettere come note a fondo post!
No, errori assolutamente no, anzi si capisce che tu hai una presa salda sulle definizioni, ma davvero non è una spiegazione chiara. Io la farei più schematica, evitando di scrivere tutto in un unico periodo molto lungo nel quale si perde il filo.
Ora ho capito ed hai perfettamente ragione visto che nessuno qui è nato imparato: provvederò!
EDIT: ho provveduto! E fatemi la cortesia di non dire più che le funzioni sono le corrispondenze tra insiemi numerici.
EDIT: ho provveduto! E fatemi la cortesia di non dire più che le funzioni sono le corrispondenze tra insiemi numerici.
"j18eos":
EDIT: ho provveduto! E fatemi la cortesia di non dire più che le funzioni sono le corrispondenze tra insiemi numerici.
Ma infatti chi ha detto una cosa del genere, a parte gli appunti di clever?
Visto che non hai subito controbattuto... io esplodo quando leggo o sento una tale scemenza (è una delle cause della mia mal sopportazione dei numeri; l'altra sono i conti: che noia). Per contraddirmi c'aggiungo che mi affascina il mondo del finito; per capirmi basta leggere un libro sull'infinito (non ho sbagliato a scrivere)... a me tali libri hanno fatto passare la voglia dell'infinito 
La definizione di applicazione e' esatta,forse per associazione intendeva una corrispondenza che invece associa ciascun elemento di A uno o piu' elementi di B.
l'applicazione e' una particolare corrispondenza.Per la definizione di relazione ha sbagliato perche' quel che so la relazione si stabilisce all'interno di un insieme A
i cui elementi verificano una certa proprieta' ma per cercare una sua difesa tale proprieta' fa si' che in A ci sia una relazione binaria tra le coppie a,b tali che queste coppie costituiscono un sottoinsieme dell'insieme prodotto AXA
Per quanto riguarda la tua amica mi dispiace ed e' iellata ad incontrare dei burberi del genere.Credo che sia una caratteristica dei prof. di geometria per dimostrare
che il primo anno e' dura e tocca a loro fare questa parte.
l'applicazione e' una particolare corrispondenza.Per la definizione di relazione ha sbagliato perche' quel che so la relazione si stabilisce all'interno di un insieme A
i cui elementi verificano una certa proprieta' ma per cercare una sua difesa tale proprieta' fa si' che in A ci sia una relazione binaria tra le coppie a,b tali che queste coppie costituiscono un sottoinsieme dell'insieme prodotto AXA
Per quanto riguarda la tua amica mi dispiace ed e' iellata ad incontrare dei burberi del genere.Credo che sia una caratteristica dei prof. di geometria per dimostrare
che il primo anno e' dura e tocca a loro fare questa parte.
Che i prof di geometria stiano tutti esauriti è un dato di fatto perché "una volta capita l'algebra lineare (geometria I) si urla a squarciagola: CHE .....ATA!" (Frase della mia docente di geometria e topologia; con tanto di puntini) Ed i studenti che non la capiscono (come lo ero io) li fanno diventare così.
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