Domanda BANALE sugli spazi vettoriali
Salve a tutti, scusate se approfitto nuovamente del forum per chiedervi un chiarimento riguardo algebra.
In algebra lineare
se io ho uno spazio vettoriale generato diciamo, giusto per fissare le idee, da 3 vettori INDIPENDENTI, per vedere se un generico vettore x y z appartiene allo spazio scrivo i 3 vettorii come matrice e poi aggiungo la riga x y z t. Poi impongo che il determinante sia uguale a zero.
Fin qui non dovrebbero esserci problemi (spero di non essermi espresso male).
Se la matrice che ottengo non dovrebbe essere una matrice quadrata come procedo? (caso che non si è mai verificato finora ma comunque non mi è chiaro l'impianto teorico che c'è alle spalle)
Quello che proprio non ho capito, invece, è questo:
se io ho uno spazio scritto, ad esempio, come $V={(x,y,z)| x+y=0, z=0}$ come devo procedere per trovare una base di questo spazio? e quindi per poter dire se un vettore appartiene o no o comunque per farci qualsiasi altro tipo di operazione/ragionamento?
(da quello che ho potuto capire dovrebbe essere qualcosa che ha a che fare con "equazioni cartesiane" di uno spazio)
Mi rendo conto che si tratta di una cosa molto facile spiegata all'inizio di tutti i corsi di algebra ma ringrazio comunque tutti quelli che vorranno aiutarmi.
Grazie
In algebra lineare
se io ho uno spazio vettoriale generato diciamo, giusto per fissare le idee, da 3 vettori INDIPENDENTI, per vedere se un generico vettore x y z appartiene allo spazio scrivo i 3 vettorii come matrice e poi aggiungo la riga x y z t. Poi impongo che il determinante sia uguale a zero.
Fin qui non dovrebbero esserci problemi (spero di non essermi espresso male).
Se la matrice che ottengo non dovrebbe essere una matrice quadrata come procedo? (caso che non si è mai verificato finora ma comunque non mi è chiaro l'impianto teorico che c'è alle spalle)
Quello che proprio non ho capito, invece, è questo:
se io ho uno spazio scritto, ad esempio, come $V={(x,y,z)| x+y=0, z=0}$ come devo procedere per trovare una base di questo spazio? e quindi per poter dire se un vettore appartiene o no o comunque per farci qualsiasi altro tipo di operazione/ragionamento?
(da quello che ho potuto capire dovrebbe essere qualcosa che ha a che fare con "equazioni cartesiane" di uno spazio)
Mi rendo conto che si tratta di una cosa molto facile spiegata all'inizio di tutti i corsi di algebra ma ringrazio comunque tutti quelli che vorranno aiutarmi.
Grazie
Risposte
"Feliciano":
Se la matrice che ottengo non dovrebbe essere una matrice quadrata come procedo?
Se hai tre vettori l.i. $x_1, x_2, x_3$, che quindi generano uno spazio di dimensione $3$, per vedere se un vettore $v$ appartiene a tale spazio devi vedere se esistono tre costanti, $a,b,c$, tali che
$a x_1 + b x_2 + c x_3 = v$
Ottieni un sistema di tre equazioni in tre incognite, se ha una soluzione vuol dire che $v$ appartiene a tale spazio, se non ha soluzione significa che $v$ non vi appartiene.
"Feliciano":
se io ho uno spazio scritto, ad esempio, come $V={(x,y,z)| x+y=0, z=0}$ come devo procedere per trovare una base di questo spazio? e quindi per poter dire se un vettore appartiene o no o comunque per farci qualsiasi altro tipo di operazione/ragionamento?
Dalla prima equazione si nota che $x = -y$. Questo significa che ogni vettore dello spazio ha la prima componente opposta alla seconda. Dalla condizione $z = 0$ si nota che ogni vettore dello spazio ha la terza componente nulla.
In definitiva, posto $y = \alpha$ come parametro libero, risulta $x = - \alpha$ e $z = 0$, quindi il generico vettore dello spazio è
$((x),(y),(z)) = ((-\alpha),(\alpha),(0)) = \alpha ((-1),(1),(0))$
Quindi $\{(-1,1,0)\}$ è una base dello spazio vettoriale considerato.
"Feliciano":
se io ho uno spazio vettoriale generato diciamo, giusto per fissare le idee, da 3 vettori INDIPENDENTI, per vedere se un generico vettore x y z appartiene allo spazio scrivo i 3 vettorii come matrice e poi aggiungo la riga x y z t. Poi impongo che il determinante sia uguale a zero.
Se la matrice che ottengo non dovrebbe essere una matrice quadrata come procedo? (caso che non si è mai verificato finora ma comunque non mi è chiaro l'impianto teorico che c'è alle spalle)
Dalla definizione di spazio generato da vettori:
Dato uno spazio $S$,generato da $v_1,v_2,v_3$:
un vettore $v$ vi appartiene $<=>$ è combinazione lineare dei vettori che lo generano $v_1,v_2,v_3$
Cioè quanto detto da Tipper.
Inoltre:
$v$ è combinazione lineare dei vettori $v_1,v_2,v_3$ $<=>$ $v,v_1,v_2,v_3$ linearmente dipendenti
$<=>$ le ennuple delle rispettive componenti sono linearmente dipendenti
$<=>$ la matrice che ha per righe queste ennuple (sarà una matrice di 4 righe) non ha rango 4 :
il modo più semplice per verificare se una matrice non ha rango massimo (se è quadrata) è verificare che il determinante è nullo.
Nota: sicuramente la matrice ha rango 3 per la lineare indipendenza di $v_1,v_2,v_3$
Ma se la matrice non è quadrata devi semplicemente verificare che non ci sono minori di ordine 4 non nulli.
Innanzi tutto grazie a tutti per le risposte, spero un giorno di essere nelle condizioni di ricambiare le gentilezze ricevute.
Dunque
per quanto detto da Gaal Dornick l'ultimo punto dove dici che devo cercare un minore di ordine 4 questo "dipende" proprio dalla definizione di rango come ordine massimo di un minore diverso da 0 (o che dir si voglia di un minore con determiannte diverso da zero)
Giusto?
Per Tipper
Dunque le tue spiegazioni mi sono abbastanza chiare; solo una cosa: una volta trovato il generico vettore $(a,-a,0)$ prima di dire conscientemente che il sistema $(-1,1,0)$ è una base dello spazio devo prima trovarne la dimensione. E la dimensione risulta proprio 1 per il fatto che le soluzioni di un sistema lineare formano un sottospazio affine di $K^n$ di dimensione $=-rank(A)+n$ dove A rappresenta la matrice incompleta del sistema, quindi nel nostro caso $((1,-1,0) , (0,0,1))$ e n il numero delle incognite.
Giusto?
Grazie ancora
Feliciano
Ps un'ULTIMA cosa (prometto che poi non do più fastidio)
Io so che data un'applicazione lineare $f:VrarrV'$, $f$ se $f$ è un isomorfismo allora $dimV=dimV'$ ma NON VICEVERSA. Quindi potreste darmi qualche suggerimento per imporre, o comunque verificare che $f$ è un'applicazione biettiva.
Dunque
per quanto detto da Gaal Dornick l'ultimo punto dove dici che devo cercare un minore di ordine 4 questo "dipende" proprio dalla definizione di rango come ordine massimo di un minore diverso da 0 (o che dir si voglia di un minore con determiannte diverso da zero)
Giusto?
Per Tipper
Dunque le tue spiegazioni mi sono abbastanza chiare; solo una cosa: una volta trovato il generico vettore $(a,-a,0)$ prima di dire conscientemente che il sistema $(-1,1,0)$ è una base dello spazio devo prima trovarne la dimensione. E la dimensione risulta proprio 1 per il fatto che le soluzioni di un sistema lineare formano un sottospazio affine di $K^n$ di dimensione $=-rank(A)+n$ dove A rappresenta la matrice incompleta del sistema, quindi nel nostro caso $((1,-1,0) , (0,0,1))$ e n il numero delle incognite.
Giusto?
Grazie ancora
Feliciano
Ps un'ULTIMA cosa (prometto che poi non do più fastidio)
Io so che data un'applicazione lineare $f:VrarrV'$, $f$ se $f$ è un isomorfismo allora $dimV=dimV'$ ma NON VICEVERSA. Quindi potreste darmi qualche suggerimento per imporre, o comunque verificare che $f$ è un'applicazione biettiva.
"Feliciano":
Per Tipper
Dunque le tue spiegazioni mi sono abbastanza chiare; solo una cosa: una volta trovato il generico vettore $(a,-a,0)$ prima di dire conscientemente che il sistema $(-1,1,0)$ è una base dello spazio devo prima trovarne la dimensione. E la dimensione risulta proprio 1 per il fatto che le soluzioni di un sistema lineare formano un sottospazio affine di $K^n$ di dimensione $=-rank(A)+n$ dove A rappresenta la matrice incompleta del sistema, quindi nel nostro caso $((1,-1,0) , (0,0,1))$ e n il numero delle incognite.
Giusto?
Data l'ora, preferisco non dire se le tue considerazioni sono giuste o sbagliate... In questo caso, visto che il generico vettore dell'insieme dipende da un solo parametro, la dimensione è $1$ (tant'è che se lo metti in evidenza ottieni un solo vettore...). Se tu avessi avuto una cosa del genere
$((a),(-2b),(a))$
qui ci sono due parametri liberi, la dimensione dello spazio a cui apparterrebbe questo generico vettore sarebbe due. E infatti, mettendo in evidenza, si otterrebbe
$((a),(-2b),(3a)) = a ((1),(0),(3)) + b ((0),(-2),(0))$
e in questo caso una base sarebbe $\{(1,0,3), (0,-2,0)\}$.
"Feliciano":
Io so che data un'applicazione lineare $f:VrarrV'$, $f$ se $f$ è un isomorfismo allora $dimV=dimV'$ ma NON VICEVERSA. Quindi potreste darmi qualche suggerimento per imporre, o comunque verificare che $f$ è un'applicazione biettiva.
Affinché un'applicazione sia biiettiva è necessario che dominio e codominio abbiano la stessa dimensione, se così non è, scordati la biiettività.
Se dovessero avere la stessa dimensione, allora due condizioni necessarie e sufficienti sarebbero queste
1) il nucleo è lo spazio nullo
2) l'immagine coincide con il codominio.
Grazie mille
Adesso mi è tutto più chiaro. Oggi pomeriggio comincio a studiare la geometria
Grazie ancora
Feliciano
Adesso mi è tutto più chiaro. Oggi pomeriggio comincio a studiare la geometria
Grazie ancora
Feliciano
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