Domanda banale su completamento di una base!
salve ragazzi ho un dubbio per quanto riguarda il teorema di completamento di una base!
Io ho lo spazio vettoriale $RR^3$ ed un sottospazio vettoriale U che è una base di $RR^3$ con un parametro t. Per certi valori del parametro U diventa di dimensione 1 o comunque $dim(U)<3$ dunque l'esercizio mi kiede di completare la base. Il mio problema è che dovrei supporre di avere altri due vettori $e_1,e_2$ e poi farne la combinazione lineare e considerare nullo lo scalare associato a questi ultimi vettori. Il fatto è che parlando in temrini di calcoli nn mi trovo cioè ho:
$U=L{(1,1,1),e_1,e_2}$ quindi $EE \alpha,\beta_1,\beta_2 in K$ tali che:
$\alpha(1,1,1)+\beta_1e_1+\beta_2e_2=0$.
Poi come determino i miei vettori? Grazie in anticipo per la risposta!
Io ho lo spazio vettoriale $RR^3$ ed un sottospazio vettoriale U che è una base di $RR^3$ con un parametro t. Per certi valori del parametro U diventa di dimensione 1 o comunque $dim(U)<3$ dunque l'esercizio mi kiede di completare la base. Il mio problema è che dovrei supporre di avere altri due vettori $e_1,e_2$ e poi farne la combinazione lineare e considerare nullo lo scalare associato a questi ultimi vettori. Il fatto è che parlando in temrini di calcoli nn mi trovo cioè ho:
$U=L{(1,1,1),e_1,e_2}$ quindi $EE \alpha,\beta_1,\beta_2 in K$ tali che:
$\alpha(1,1,1)+\beta_1e_1+\beta_2e_2=0$.
Poi come determino i miei vettori? Grazie in anticipo per la risposta!
Risposte
Visto che stai parlando di sistemi di generatori; affinchè tre vettori che sai essere generatori costituiscano una base per uno spazio vettoriale di dimensione 3 è che essi siano linermante indipendenti. Un modo utile per verificare se i vettori son l.i è quello di scriverli come righe di una matrice e trovare il determinante che deve essere diverso da zero; inoltre in questo caso avresti che il rango della matrice è 3; sai anche che il rango della matrice è dato dal numero di pivot della matrice ridotta a scalini. Nel tuo caso dunque gli altri due vettori, ad esempio (ricorda uno stesso spazio vettoriale ha infinite basi), sono (0,1,0),(0,0,1). Come vedi non è necessario fare conti.
scusa biggest ma la prof non ci ha mai parlato di pivot o di matrici ridotte a scalini quindi non so cosa tu abbia detto! xD
Semplicemente sul libro la dimostrazione la fa con la supposizione di un solo vettore mentre a me ne servono due! so che forse è un mio blocco mentale ma vorrei vedere come risolvete voi questo problema così da capire! Inoltre non posso fare il discorso di raccogliere gli scalari $\beta_1,\beta_2$ o i vettori perchè sono diversi!
Semplicemente sul libro la dimostrazione la fa con la supposizione di un solo vettore mentre a me ne servono due! so che forse è un mio blocco mentale ma vorrei vedere come risolvete voi questo problema così da capire!
Inoltre non posso fare il discorso di raccogliere gli scalari $\beta_1,\beta_2$ o i vettori perchè sono diversi!
i pivot sono i primi elementi non nulli di ogni riga; definisci matrici a scalini una matrice avente la proprietà seguente: il primo elemento diverso da zero di una riga deve essere più a destra del primo elemento diverso da zero della riga precedente
mm..no nn riesco a determinarli credo che ci sia un modo più semplice! attendo altre risposte 
"biggest":
Visto che stai parlando di sistemi di generatori; affinchè tre vettori che sai essere generatori costituiscano una base per uno spazio vettoriale di dimensione 1 è che essi siano linermante indipendenti.
Scusa come fanno 3 vettori a essere una base di uno spazio di dimensione 1? O.o
Paolo ti consiglio di copiare direttamente il testo dell'esercizio, perchè da quello che hai scritto si capisce ben poco!
Poi mi sembra anche strano che sul tuo libro non trovi la classica dimostrazione per induzione del completamento di base, tra l'altro il teorema dice che se hai uno spazio vettoriale di dimensione $r$ di cui conosci $n$ vettori linearmente indipendenti, allora esistono $r-n$ vettori che completano gli $n$ che avevi ad una base dello spazio, quindi non capisco che dimostrazione sarebbe se ti fa vedere come si completa una base a cui manca solo 1 vettore..
Allora @giuly ecco il teso: Si consideri il sottospazio vett. $U<=RR^3$ definito così:
$U=L{(1,1,1),(1,1,t^2),(1,t,t)}$
1) Si det. la dimensione, ed una base $B_U$ di tale sottospazio, per ogni valore di t.
2) Per i valori di t per cui risulta $dim(U)<3$, si completi a base di $RR^3$ il sistema $B_U$ ottenuto.
Il primo punto l'ho gia fatto e mi risulta ke per $t=1,t=-1$ il sottospazio ha dimensioni rispettivamente 1 e 2. Quindi devo completare ad una base di $RR^3$. Tu cosa mi consigli di fare?
EDIT: ho capito il teorema e mi trovo con le tue parole infatti: $r-n=3-1=2$ per $t=1$ e $r-n=3-2=1$ per $t=-1$. Il mio problema è che non so ricavarmeli dalla combinazione lineare.
$U=L{(1,1,1),(1,1,t^2),(1,t,t)}$
1) Si det. la dimensione, ed una base $B_U$ di tale sottospazio, per ogni valore di t.
2) Per i valori di t per cui risulta $dim(U)<3$, si completi a base di $RR^3$ il sistema $B_U$ ottenuto.
Il primo punto l'ho gia fatto e mi risulta ke per $t=1,t=-1$ il sottospazio ha dimensioni rispettivamente 1 e 2. Quindi devo completare ad una base di $RR^3$. Tu cosa mi consigli di fare?
EDIT: ho capito il teorema e mi trovo con le tue parole infatti: $r-n=3-1=2$ per $t=1$ e $r-n=3-2=1$ per $t=-1$. Il mio problema è che non so ricavarmeli dalla combinazione lineare.
Io prenderei un paio di vettori dalla base canonica.. niente di più facile.
li ho presi giuly e mi ritrovo nella condizione che ho scritto sopra!
[mod="Martino"]Paolotesla91, dopo 300 messaggi dovresti sapere che i titoli devono specificare l'argomento. Per favore, clicca su "modifica" nel tuo intervento e specificalo, grazie.[/mod]
Sopra non mi sembra tu abbia scritto niente al riguardo, comunque poniamo sia t=1, hai tre vettori uguali, ne butti via due e te ne prendi due a caso dalla base canonica, tanto saranno sempre linearmente indipendenti se l'altro vettore è $(1,1,1)$. Non capisco dove stia il problema..
ah basta sceglierli non bisogna fare alcun calcolo? e se invece è $t=-1$, allo stesso modo?
EDIT: non bisogna fare la combinazione lineare?
EDIT: non bisogna fare la combinazione lineare?
E' ovvio che non li prendi a caso, ne scegli uno che sia linearmente indipendente rispetto a quelli che già hai, ma non è così difficile!
Se proprio vuoi agire brutalmente potresti prendere un generico vettore $(x,y,z,t)$ (se te ne serve uno a completare la base, altrimenti ce la fai a occhio) fai una matrice quadrata con i vettori che hai più quello generico e imponi il determinante diverso da $0$, non l'ho mai fatto ma dovrebbe funzionare, però secondo me non è il caso.
Se proprio vuoi agire brutalmente potresti prendere un generico vettore $(x,y,z,t)$ (se te ne serve uno a completare la base, altrimenti ce la fai a occhio) fai una matrice quadrata con i vettori che hai più quello generico e imponi il determinante diverso da $0$, non l'ho mai fatto ma dovrebbe funzionare, però secondo me non è il caso.
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