Domanda banale

[Pivot1]

Ho una domanda sulle applicazioni lineari che non riesco a spiegarmi.

Perchè le colonne vettore linearmente indipendenti di una matrice associata ad una applicazione lineare mi danno una base dell'immagine di f?

Esempio:

F: R^4 -> R^4

1 0 1 0
1 1 2 0
0 1 1 1
1 -1 0 0


in questa matrice il rango = dimIm(F) = 3; allora una base dell'immagine è:

B_F = {(1 1 0 1) ( 0 1 1 -1) (0 0 1 0)}

Perchè?

[miuemia]

utilizza il fatto che imaagini di vettori linearmente indipendenti tramite un'applicazione invertibile sono ancora lin ind a questo punto basta notare che le colonne sono immagine dei vettori della base canonica.

[Pivot1]

cioè? puoi farmi un esempio?

[leev]

Per una base $e_1,...,e_n$ dello spazio di partenza $V$, la matrice dell'applicazione lineare $F$, è per definizione $(F(e_1),...,F(e_n))$.
Ora, visto che $V$ è formato da tutte le combinazioni lineare di $e_1,...,e_n$, $F(V)$ , per linearità, è formato da tutte le combinazioni lineari di $F(e_1),...,F(e_n)$.
Quindi se vedi che il rango della matrice è $m
Ciao

[Pivot1]

a ok. Credo di aver capito Grazie