Domanda

[Sk_Anonymous]

Cosa significa che una funzione è di classe $C^1$ a tratti? Che è continua e derivabile insieme alla sua derivata prima quasi ovunque?

[CiUkInO1]

"Ainéias":Cosa significa che una funzione è di classe $C^1$ a tratti? Che è continua e derivabile insieme alla sua derivata prima quasi ovunque?

QUel quasi ovunque vuol dire che è continua e derivabile in tutto il suo dominio tranne che in un sottoinsieme di misura nulla.
Ora però non mi ricordo la vera e proprio definizione di insieme di misura di nulla.
Cmq per farti un esempio se tu hai una funzione che è $C^1$ tranne in 1, o 100 o in 1000 punti la tua funzione la puoi definire di classe $C^1$ a tratti.
In verità la tua funzione può anche "esplodere" in infiniti punti ed essere comunque $C^1$ a tratti.
Infatti per esempio si può dimostrare che l'insieme dei numeri naturali è un insieme di misura nulla, nonostante i numeri naturali siano infiniti!

So che non è una spiegazione molto rigoroso ma spero di esserti stato utile

[Luca.Lussardi]

La definizione classica vuole che una funzione $C^1$ a tratti sia una funzione $f$ definita su un intervallo $(a,b)$ che è di classe $C^1$ su una partizione finita dell'intervallo $(a,b)$, ovvero su ogni sotto-intervallo $(a_k,a_(k+1))$ di una partizione di $(a,b)$; restano quindi esclusi i punti $a_k$.

[Kroldar]

I punti $a_k$ devono essere in numero finito o va bene anche infinito contabile?

[erasmo1]

devono essere in numero finito

[Kroldar]

Eppure ero convinto che andasse bene anche una quantità numerabile...

[Fioravante Patrone1]

no, un numero finito di punti di discontinuità

alla definizione "classica" di Luca Lussardi aggiungo una nota: a volte si richiede anche (oltre a quanto ha detto lui) che la funzione sia continua su tutto [a,b]