Divisione tra polinomi

[fazer90]

Salve a tutti, sono uno studente universitario e sto avendo dei problemi con un esame sul controllo ottimo.
Vorrei sapere perchè il rapporto tra un polinomio di grado zero ed uno di grado finito, è un polinomio di grado infinito. La risposta che mi è stata data dall'assistente del professore è che: " ha infiniti resti".
Il mio sistema è del tipo:
y(k)= e(k)+c1*e(k-1)+c2*e(k-2) ---->y(k)=C(z^-1)*e(k) e voglio dimostrare che: (1/C(z^-1))*y(k)=e(k)---> A(z^-1)*y(k)=e(k)
Con z^-1 operatore di ritardo unitario, C polinomio di grado finito ed A polinomio di grado infinito.
Grazie in anticipo.

[apatriarca]

La tua notazione non mi è completamente chiara (l'uso di latex per l'inserimento delle formule probabilmente aiuterebbe). In ogni caso mi sembra abbastanza ovvio che il rapporto tra una costante e un polinomio non possa essere in polinomio (ho sempre chiamato polinomi solo quelli con grado finito). Un polinomio va all'infinito solo con \(|z|\) che tende all'infinito. La tua funzione avrà invece dei poli negli zeri del polinomio a denominatore. Per vedere che puoi scrivere la tua funzione come serie infinita puoi considerare la relazione seguente:
\[ \frac{1}{ a_0 + \dots + a_{k-1}\,x^{k-1} + a_{k}\,x^k } = \sum_{i=0}^{\infty} b_i\,x^i. \]
Moltiplicando sia a destra che a sinistra per il polinomio si ottiene
\[ \sum_{j=0}^k \sum_{i=0}^{\infty} a_j\,b_i\,x^{i+j} = 1 \]
Che può essere risolta "un grado per volta" per ottenere i vari coefficienti. Supponendo per esempio di avere il polinomio \(x - 5\) avresti per esempio:
\[ \begin{align*} - 5\,b_0 &= 1 \\ b_0 - 5\,b_1 &= 0 \\ -5\,b_2 + b_1 + b_0 &= 0 \\ \dots &= 0 \end{align*} \]
da cui ottieni \( b_0 = - 1/5, \) \( b_1 = - 1/25, \) e \( b_2 = - 6/125 \) se non ho sbagliato i conti (fatti a mente velocemente).

[fazer90]

Ho capito grazie.