Disuguaglianze tra norme
Se $vec x in RR^n$, $vec x=(x_1, ldots, x_n)$, allora per ogni i $||vec x||_(oo)>=|x_i| $. Lo stesso vale per la norma euclidea e in generale per tutte le norme $p$.
Ma vale per tutte le norme in dimensione finita? a occhio direi di si, però non saprei dimostrarlo... che dite?
e grazie anticipate!
Ma vale per tutte le norme in dimensione finita? a occhio direi di si, però non saprei dimostrarlo... che dite?
e grazie anticipate!
Risposte
uno spunto: consideriamo $text(pr)_i:RR^n->RR$, $vec x->x_i$, e sia $||-||$ una norma qualsiasi di $RR^n$. $text(pr)_i$ è lineare, quindi grazie alla dim. finita è Lipschitziana e la costante di Lipschitz è $|text(pr)_i|=max_{vec x in B^(n-1)}(|text(pr)_i(vec x)|)$ (il massimo sulla sfera unitaria centrata nell'origine). Quindi la domanda del post di prima equivale a chiedersi: $|text(pr)_i|<=1$? Mi viene il dubbio che non sia vero...
EDIT: ho sostituito $||text(pr)_i||$ con $|text(pr)_i|$, la norma su $RR$ è naturalmente il valore assoluto.
EDIT: ho sostituito $||text(pr)_i||$ con $|text(pr)_i|$, la norma su $RR$ è naturalmente il valore assoluto.
Sì, tutte le norme definite su uno stesso spazio vettoriale finito dimensionale sono equivalenti; in altre parole sussiste il seguente teorema:
La parte sulla completezza discende dalla completezza di $CC^n$ rispetto alla norma usuale e dal fatto che, fissata una base $B$ di $V$, puoi trasferire la norma di $V$ su $CC^n$ e viceversa con l'ausilio del sistema di coordinate indotto da $B$ tra $V$ e $CC^n$.
Siano $V$ un $CC$-spazio vettoriale di dimensione finita $n in NN$ e $B={e_1,\ldots,e_n}$ una base di $V$.
Ogni norma $||\cdot||$ definita su $V$ è equivalente a quella definita come segue:
$AAx=\sum_(k=1)^n x_ke_k in V, quad ||x||_1=\sum_(k=1)^n|x_k|$;
ne viene che tutte le norme definite su $V$ sono equivalenti. Inoltre $V$ è uno spazio metrico completo rispetto a qualunque norma su esso definita.
La parte sulla completezza discende dalla completezza di $CC^n$ rispetto alla norma usuale e dal fatto che, fissata una base $B$ di $V$, puoi trasferire la norma di $V$ su $CC^n$ e viceversa con l'ausilio del sistema di coordinate indotto da $B$ tra $V$ e $CC^n$.
Quindi, se ho capito bene, data una norma $||-||$, questa è equivalente alla $||-||_1$ di sopra, e perciò per ogni $vec x in RR^n$ risulta:
(sottointendendo $vec x=(x_1, ldots, x_n)$) $lambda ||vec x||_1<=||vec x ||$, da cui la disuguaglianza che otteniamo è $lambda|x_i|<=||vec x||$.
Questo in effetti è già sufficiente per quasi tutto... a questo punto resta giusto la curiosità: può essere che quel $lambda$ sia $>=1$, ovvero $|x_i|<=||vec x||$? (Pensandoci un attimo, la risposta è no: $1/2 ||vec x||_2$ è una norma, e non verifica la disuguaglianza per esempio col vettore $(2,0,ldots,0)$.) Questo conclude la questione. Grazie mille per l'interessamento!
(sottointendendo $vec x=(x_1, ldots, x_n)$) $lambda ||vec x||_1<=||vec x ||$, da cui la disuguaglianza che otteniamo è $lambda|x_i|<=||vec x||$.
Questo in effetti è già sufficiente per quasi tutto... a questo punto resta giusto la curiosità: può essere che quel $lambda$ sia $>=1$, ovvero $|x_i|<=||vec x||$? (Pensandoci un attimo, la risposta è no: $1/2 ||vec x||_2$ è una norma, e non verifica la disuguaglianza per esempio col vettore $(2,0,ldots,0)$.) Questo conclude la questione. Grazie mille per l'interessamento!
Sì, dici bene.
D'altra parte io avevo letto male la tua domanda, dimenticandomi totalmente che la questione riguardava le proiezioni sugli assi, e perciò ho risposto un po' a casaccio.
Scusa.
D'altra parte io avevo letto male la tua domanda, dimenticandomi totalmente che la questione riguardava le proiezioni sugli assi, e perciò ho risposto un po' a casaccio.
Scusa.
è la domanda ad essere fatta "un po' a casaccio" 
rileggendo vedo che non si capiva granché...meno male che almeno mi sono capito da solo!!!
Visto che ci siamo scrivo un'altra domanda : sempre $||-||$ una norma qualsiasi di $RR^n$, $vec x=(x_1, ldots, x_n)$. Se fissiamo$(x_1, ldots, x_(i-1),x_(i+1), ldots, x_n)$, la funzione $phi(x_i)=||(x_1, ldots, x_i, ldots, x_n)||, RR->RR$ è strettamente crescente? a occhio mi pare di si... che dite?
rileggendo vedo che non si capiva granché...meno male che almeno mi sono capito da solo!!! Visto che ci siamo scrivo un'altra domanda : sempre $||-||$ una norma qualsiasi di $RR^n$, $vec x=(x_1, ldots, x_n)$. Se fissiamo$(x_1, ldots, x_(i-1),x_(i+1), ldots, x_n)$, la funzione $phi(x_i)=||(x_1, ldots, x_i, ldots, x_n)||, RR->RR$ è strettamente crescente? a occhio mi pare di si... che dite?
Mi sembra che la proprietà (quella del primo messaggio) sia falsa (se ho capito il problema).
L'esempio che segue l'avevo scritto qualche mese fa in un altra discussione
("raggio spettrale del prodotto", lo riscrivo dato che non so come creare un link al messaggio in questione) . Prendiamo in $RR^2$
$ ||(x,y)||:=|x+y|+2|x-y| $ (le cui palle sono dei rombi con gli assi sulle bisettrici dei quadranti).
E' chiaro che $||(1,1)||=2$ mentre $||(0,1)||=3$.
Come dicevo a suo tempo: anche se le
palle sono convesse, non e' detto che siano "messe bene" rispetto agli assi.
DOPO UN PO' DI TEMPO
Credo che lo stesso esempio confuti anche il secondo quesito:
Con la norma sopra, se $0\leq t\leq 1$ viene che $||(1.t)||=1+t+2-2t=3-t$ che non è crescente.
L'esempio che segue l'avevo scritto qualche mese fa in un altra discussione
("raggio spettrale del prodotto", lo riscrivo dato che non so come creare un link al messaggio in questione) . Prendiamo in $RR^2$
$ ||(x,y)||:=|x+y|+2|x-y| $ (le cui palle sono dei rombi con gli assi sulle bisettrici dei quadranti).
E' chiaro che $||(1,1)||=2$ mentre $||(0,1)||=3$.
Come dicevo a suo tempo: anche se le
palle sono convesse, non e' detto che siano "messe bene" rispetto agli assi.
DOPO UN PO' DI TEMPO
Credo che lo stesso esempio confuti anche il secondo quesito:
Con la norma sopra, se $0\leq t\leq 1$ viene che $||(1.t)||=1+t+2-2t=3-t$ che non è crescente.
Si hai capito il problema... quindi la proprietà è falsa.
Questo mi crea un problema perché non so più se questa proposizione è vera:
Proposizione: Siano $(X_1,d_1), (X_2,d_2)$ spazi metrici. Se $||-||$ è una norma di $RR^2$, con $d(x_1,x_2),(y_1,y_2)=||(d_1(x_1,y_1), d_2(x_2, y_2))||$ definiamo una distanza su $X_1xY_1$ t.c.:
a) una successione ${(x_1^n, x_2^n)}$ converge a $(x_1, x_2)$ $iff$ $x_1^n -> x_1$ e $x_2^n->x_2$ (la topologia sottostante è la topologia prodotto);
b) la stessa successione è di Cauchy $iff$ sono di Cauchy le ${x_1^n}, {x_2^n}$.
vabbé, ci penserò su...
grazie mille per l'esempio, mi ha tolto un'idea sbagliata!
Questo mi crea un problema perché non so più se questa proposizione è vera:
Proposizione: Siano $(X_1,d_1), (X_2,d_2)$ spazi metrici. Se $||-||$ è una norma di $RR^2$, con $d(x_1,x_2),(y_1,y_2)=||(d_1(x_1,y_1), d_2(x_2, y_2))||$ definiamo una distanza su $X_1xY_1$ t.c.:
a) una successione ${(x_1^n, x_2^n)}$ converge a $(x_1, x_2)$ $iff$ $x_1^n -> x_1$ e $x_2^n->x_2$ (la topologia sottostante è la topologia prodotto);
b) la stessa successione è di Cauchy $iff$ sono di Cauchy le ${x_1^n}, {x_2^n}$.
vabbé, ci penserò su...
grazie mille per l'esempio, mi ha tolto un'idea sbagliata!
La proposizione è vera, perchè, essendo tutte le norme in $RR^2$ equivalenti tra loro ($\star$), trovi sicuramente due costanti positive
$c_1$ e $c_2$ tali che
$c_1(|x_1|+|x_2|)\leq ||(x_1,x_2)||\leq c_2(|x_1|+|x_2|)$
e da qui non dovrebbe essere difficile andare avanti.
($\star$) proprietà vera ma assolutamente non banale da dimostrare.
Per quanto riguarda l'idea sbagliata devo dire che anch'io, ai tempi dell'altro post di cui parlavo sopra, avevo tentato di
dimostrarla ... visto che non ci riuscivo ho intuito il controesempio.
Alla prossima
$c_1$ e $c_2$ tali che
$c_1(|x_1|+|x_2|)\leq ||(x_1,x_2)||\leq c_2(|x_1|+|x_2|)$
e da qui non dovrebbe essere difficile andare avanti.
($\star$) proprietà vera ma assolutamente non banale da dimostrare.
Per quanto riguarda l'idea sbagliata devo dire che anch'io, ai tempi dell'altro post di cui parlavo sopra, avevo tentato di
dimostrarla ... visto che non ci riuscivo ho intuito il controesempio.
Alla prossima
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