Disuguaglianza isoperimetrica
Come qualcuno sa già, sto per scrivere la mia tesi di laurea.
Non ho ancora un titolo definitivo, ma l'argomento è Le disuguaglianze di Brunn-Minkowski ed Aleksandrov-Fenchel, due disuguaglianze classiche della Teoria Geometrica della Misura che hanno risvolti interessanti nell'Analisi.
Avrei intenzione di dedicare un capitolo della tesi (l'ultimo) ad un paio di applicazioni di tali disuguaglianze: le più immediate sono le dimostrazioni della disuguaglianza isoperimetrica (in breve d.i.) e di una disuguaglianza di tipo Sobolev (vedi qui).
Per la seconda ho trovato un po' di materiale da studiacchiare ed adattare ai miei scopi (possibilmente!); però, per quanto riguarda la d.i. mi trovo un po' in imbarazzo, per il fatto che con l'ausilio dei teoremi di B-M la d.i. si prova in un paio di righe!
Sembrandomi due righe pochine per un intero paragrafo, ho pensato di confrontare tale brevissima dimostrazione con qualcun'altra, non più breve, che usi metodi diversi*.
A questo punto chiedo consiglio a chi di voi è più esperto di me (in Teoria della Misura o in Calcolo delle Variazioni): sapreste consigliarmi un testo (o un sito o qualcos'altro) dove reperire una dimostrazione della disuguaglianza isoperimetrica che non faccia uso delle disuguaglianze di Brunn-Minkowski?
Ho letto che esiste una dimostrazione della d.i. che si basa sulla serie di Fourier... Questa mi sembra interessante, però qualunque altra cosa potrebbe andar bene; vi lascio liberi di consigliarmi come meglio credete (tenendo presente che ho una preparazione piuttosto analitica).
Ringrazio tutti anticipatamente ed auguro buone vacanze a tutti gli utenti del foro.
P.S.: Spero che i mod non se la prendano per il grassetto, visto che è usato per quanto è stato inventato, ossia evidenziare il punto importante del post.
P.P.S.: Ho rivisto per l'ennesima volta C'era una volta in America... È un capolavoro.
____________
* L'alternativa sarebbe riempire il $90%$ del paragrafo di sole notizie storiche; ma ciò mi seccherebbe alquanto.
Non ho ancora un titolo definitivo, ma l'argomento è Le disuguaglianze di Brunn-Minkowski ed Aleksandrov-Fenchel, due disuguaglianze classiche della Teoria Geometrica della Misura che hanno risvolti interessanti nell'Analisi.
Avrei intenzione di dedicare un capitolo della tesi (l'ultimo) ad un paio di applicazioni di tali disuguaglianze: le più immediate sono le dimostrazioni della disuguaglianza isoperimetrica (in breve d.i.) e di una disuguaglianza di tipo Sobolev (vedi qui).
Per la seconda ho trovato un po' di materiale da studiacchiare ed adattare ai miei scopi (possibilmente!); però, per quanto riguarda la d.i. mi trovo un po' in imbarazzo, per il fatto che con l'ausilio dei teoremi di B-M la d.i. si prova in un paio di righe!
Sembrandomi due righe pochine per un intero paragrafo, ho pensato di confrontare tale brevissima dimostrazione con qualcun'altra, non più breve, che usi metodi diversi*.
A questo punto chiedo consiglio a chi di voi è più esperto di me (in Teoria della Misura o in Calcolo delle Variazioni): sapreste consigliarmi un testo (o un sito o qualcos'altro) dove reperire una dimostrazione della disuguaglianza isoperimetrica che non faccia uso delle disuguaglianze di Brunn-Minkowski?
Ho letto che esiste una dimostrazione della d.i. che si basa sulla serie di Fourier... Questa mi sembra interessante, però qualunque altra cosa potrebbe andar bene; vi lascio liberi di consigliarmi come meglio credete (tenendo presente che ho una preparazione piuttosto analitica).
Ringrazio tutti anticipatamente ed auguro buone vacanze a tutti gli utenti del foro.
P.S.: Spero che i mod non se la prendano per il grassetto, visto che è usato per quanto è stato inventato, ossia evidenziare il punto importante del post.
P.P.S.: Ho rivisto per l'ennesima volta C'era una volta in America... È un capolavoro.
____________
* L'alternativa sarebbe riempire il $90%$ del paragrafo di sole notizie storiche; ma ciò mi seccherebbe alquanto.
Risposte
Puoi dare un'occhiata qui, per cominciare: http://www.math.utah.edu/~treiberg/isoperim/isop.pdf.
Auguri per la tesi!
Auguri per la tesi!
Se ti interessa mi sono occupato nella tesi di laurea triennale della disuguaglianza isoperimetrica, dal punto di vista però della geometria differenziale. In realtà ho scritto due dimostrazioni, una delle quali, più analitica, potrebbe interessarti. Fa uso della disuguaglianza di Wirtinger.
Con le immersioni di Sobolev te la cavi in poco.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo