Disuguaglianza in spazi vettoriali normati
Su un libro ho trovato questo lemma, la cui dimostrazione è lasciata per esercizio. Ho però pochissima confidenza con gli spazi in questione, per cui non ci sto riuscendo nonostante abbia la sensazione che sia davvero facile.
Ero indeciso se postare qui o nella sezione di analisi, ma vista l'assenza di qualsiasi condizione di continuità ho pensato che il luogo migliore fosse questo.
Sia $A$ un'applicazione lineare biunivoca tra spazi vettoriali normati di dimensione finita. Allora esistono due costanti positive $m$ e $M$ tali che, $AAxne0$:
$m||x||<||Ax||
E' chiaro che è equivalente a chiedere che i valori di $||Ax||$ siano strettamente compresi tra $m$ e $M$ sulla "sfera unitaria", ma non capisco come usare ad esempio l'invertibilità.
Qualche aiuto?
Ero indeciso se postare qui o nella sezione di analisi, ma vista l'assenza di qualsiasi condizione di continuità ho pensato che il luogo migliore fosse questo.
Sia $A$ un'applicazione lineare biunivoca tra spazi vettoriali normati di dimensione finita. Allora esistono due costanti positive $m$ e $M$ tali che, $AAxne0$:
$m||x||<||Ax||
E' chiaro che è equivalente a chiedere che i valori di $||Ax||$ siano strettamente compresi tra $m$ e $M$ sulla "sfera unitaria", ma non capisco come usare ad esempio l'invertibilità.
Qualche aiuto?
Risposte
Niente di particolare: una applicazione lineare \(A\) tra spazi normati è continua se e solo se
\[\lVert Ax \rVert \le M \lVert x \rVert\]
per una costante \(M\). Quindi se \(A\) è invertibile, essa è continua con la propria inversa se e solo se
\[m\lVert x \rVert \le \lVert Ax \rVert \le M \lVert x \rVert\]
per costanti \(m, M\) (con \(m>0\)). Ora chiaramente una applicazione lineare tra spazi di dimensione finita è automaticamente continua. Questo è chiaro: a parte varie formalità tecniche, l'applicazione in questione si può esprimere in termini di polinomi omogenei di primo grado, che sono applicazioni continue. Ecco tutto.
\[\lVert Ax \rVert \le M \lVert x \rVert\]
per una costante \(M\). Quindi se \(A\) è invertibile, essa è continua con la propria inversa se e solo se
\[m\lVert x \rVert \le \lVert Ax \rVert \le M \lVert x \rVert\]
per costanti \(m, M\) (con \(m>0\)). Ora chiaramente una applicazione lineare tra spazi di dimensione finita è automaticamente continua. Questo è chiaro: a parte varie formalità tecniche, l'applicazione in questione si può esprimere in termini di polinomi omogenei di primo grado, che sono applicazioni continue. Ecco tutto.
Ok, perfetto! Ci ho messo un po' a capire la minorazione, ma dovrei esserci: la $m$ mi risulta come l'inversa della costante di maggiorazione di $A^-1$ (e questo ci dice che $M$ sarà sempre maggiore di 1 e $m$ sempre minore di 1?). Dopodiché per passare alla disuguaglianza stretta basta raddoppiare/dimezzare le costanti ed escludere il vettore nullo.
Grazie mille e correggimi se sbaglio!
(Ovviamente l'ho capito che la sostanza era nel fatto che in realtà si tratta sempre di applicazioni continue e che era anche facile capirlo. E che insomma era da sezione di analisi
. )
Grazie mille e correggimi se sbaglio!
(Ovviamente l'ho capito che la sostanza era nel fatto che in realtà si tratta sempre di applicazioni continue e che era anche facile capirlo. E che insomma era da sezione di analisi
. )
Tutto esatto a parte il fatto che \(M\) deve essere maggiore di \(1\): no, può capitare che tu possa prenderla pure più piccola. Esempio banale e demenziale: se \(I\) è l'applicazione identica, considera \(0.5I\).
Giusto, in quel caso l'applicazione inversa sarà $2I$ che vuole una costante $>=2$ e pertanto la $m$ sarà automaticamente abbastanza piccola.
L'estate mi ha arrugginito abbastanza.
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