Disuguaglianza di Swartz

[zio_mangrovia]

dati due vettori $u$ e $v$ $in$ $RR^2$ o $RR^3$
vale che $cos \hat (uv)=(uv)/(|u||v|)$ -> $1 >= |uv|/(|u||v|)=abs ( cos \hat (uv) )$

1- Non afferro il concetto per cui questa dimostrazione vale solo in $RR^2$ o $RR^3$

2- applicare il valore assoluto a $(uv)/(|u||v|)$ significa applicarlo solo al prodotto scalare $uv$ perché il prodotto delle norme è già positivo, corretto?

[dissonance]

Ne abbiamo parlato di recente, il problema è che solo in \(\mathbb R^2\) e \(\mathbb R^3\) puoi definire l'angolo in forma geometrica e a partire da quello definire il prodotto scalare. In \(\mathbb R^n\) devi invertire l'ordine logico delle cose: prima definisci il prodotto scalare, poi dimostri la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, la quale implica che
\[
\frac{|u\cdot v|}{|u||v|}\le 1, \]
e quindi il numero reale \(\frac{u\cdot v}{|u||v|}\) (nota \(^{[1]}\)) cade nel dominio dell'arcocoseno, per cui ha senso porre
\[
\cos \widehat{uv} := \frac{u\cdot v}{|u||v|}.\]
Questa è la *definizione* di angolo in un arbitrario spazio vettoriale reale munito di un prodotto scalare.

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[1] Si, applicare il valore assoluto a questo rapporto equivale ad applicare il valore assoluto solo al numeratore, ovviamente.

[zio_mangrovia]

"dissonance":puoi definire l'angolo in forma geometrica e a partire da quello definire il prodotto scalare. In \(\mathbb R^n\) devi invertire l'ordine logico delle cose: prima definisci il prodotto scalare, poi dimostri la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, la quale implica che

Sinceramente ho capito le dimostrazioni ma non ho ben chiaro cosa significhi definire l'angolo in forma geometrica.
Nel secondo caso perchè è necessario invertire l'ordine e definire prima il prodotto scalare?
Nel caso cerco il Thread dove è stata affrontata la questione.

Grazie

[killing_buddha]

non ho ben chiaro cosa significhi definire l'angolo in forma geometrica

La definizione data mediante il prodotto scalare ha senso anche in spazi vettoriali su campi diversi da $\mathbb R$. Su $\mathbb R$ hai una intuizione geometrica rispetto a cosa sia "l'angolo" tra due vettori (che è leggermente biassata dal fatto che due vettori non formano un angolo, bensì due, e tu sei portato a considerare quello acuto come più importante; ma questa è un'altra storia).

Per esercizio, prova a pensare a come dovrebbe essere fatto un angolo tra due vettori di $\mathbb Q^3$, di $\mathbb C^2$, di $\mathbb F_2^3$...

[killing_buddha]

Ah, e si dice disuguaglianza di Schwarz

[zio_mangrovia]

"killing_buddha":Ah, e si dice disuguaglianza di Schwarz

Neppure il nome sono riuscito a imparare!

"killing_buddha":
La definizione data mediante il prodotto scalare ha senso anche in spazi vettoriali su campi diversi da $RR$

Infatti, correggetemi se sbaglio, ma $cos\hat (uv)=(uv)/(abs(u)abs(v))$ è valido in tutto $RR^n$, no ? Si afferma che è valida in qualunque spazio vettoriale munito di prodotto scalare.
Se non capisco male, per esempio in $RR^2$, definire l'angolo in forma geometrica signfica esprimere le coordinate dei vettori in funzione di $cos$ e $sen$ nella circonferenza goniometrica in modo da arrivare a definire il prodotto scalare in modo "intuitivo".
Quindi è sbagliato affermare che la definizione è valida solo in $RR^2$ e $RR^3$ ma come dici tu è più intuitiva, giusto?

[anto_zoolander]

Diciamo che viene ‘definito’ come angolo tra due vettori.
Quindi devi un po’ staccare l’idea dal classico angolo definito nella geometria euclidea ‘elementare’.
Considera che anche la goniometria si riformula in maniera del tutto analitica distaccandosi del tutto dalla geometria sempre elementare.

[killing_buddha]

L'angolo tra due vettori e' sempre l'angolo nel piano generato dai due vettori, questo e' indipendente dalla diomensione; io parlavo del fatto che la definizione ha senso su uno spazio vettoriale qualsiasi (con qualche accortezza se il campo degli scalari ha caratteristica positiva: in caratteristica 2 un prodotto scalare e una forma alternante sono la stessa cosa ).

[zio_mangrovia]

ma in sintesi, se dimostro al prof la disuguaglianza di S. utilizzando la formula del $cos\hat(uv)$ come quoziente tra prodotto scalare e prodotto delle relative norme, gli devo dire che è applicabile in tutto $RR^n$ o no?

[zio_mangrovia]

"anto_zoolander":Diciamo che viene ‘definito’ come angolo tra due vettori.
Quindi devi un po’ staccare l’idea dal classico angolo definito nella geometria euclidea ‘elementare’.
Considera che anche la goniometria si riformula in maniera del tutto analitica distaccandosi del tutto dalla geometria sempre elementare.

Scusate ma io non ho capito ancora se questa dimostrazione è applicabile solo a $RR^2$ e $RR^3$ e perché.
E' possibile esprimerla in parole semplici , grazie a tutti

[killing_buddha]

Ma te l'abbiamo detto, è applicabile ovunque; solo, in $\mathbb R^n$ con $n\ge 3$ ti restringi al piano generato da $v,w$.

[dissonance]

A mio avviso dimostrare Cauchy Schwarz partendo dal fatto che \(|\cos \theta|\le 1\) è un argomento circolare. La *definizione* di angolo richiede la disuguaglianza di Cauchy Schwarz per avere senso. È come dimostrare che \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\) usando la regola di l'Hôpital: il risultato è corretto, ma l'argomento è circolare.

Sono comunque fatti di tipo fondazionale che all'atto pratico importano poco o niente.