Disuguaglianza di Schwarz (dim)

[jitter1]

Un dubbio mi sa terra-terra ma che non riesco a giustificare...

E' sulla dimostrazione della disuguaglianza di Schwarz.

$ ^2 <= $ (dove $ $ è il prodotto scalare di v e w)

Dim.
$ 0 <= ^2 = a^2 + 2 ab + b^2 $ per qualsiasi $ a, b in R $ (fin qui ci sono)

Prendendo in particolare
$ a = $ e $ b = - $

... si fanno i calcoli ed esce la tesi.

Però non ho capito come mai prendere un valore particolare di a e b non fa perdere generalità.

Grazie, ciao!

[cirasa]

La disuguaglianza
(*) [tex]$ 0 \leq \langle av+bw, av+bw\rangle^2 = a^2 \langle v, v\rangle + 2 ab \langle v, w\rangle + b^2 \langle w, w\rangle[/tex]
vale per ogni [tex]v,w\in V[/tex] e per ogni [tex]a,b\in\mathbb{R}[/tex].
In particolare vale per [tex]a,b[/tex] uguali a quei due valori.

E' come se ti dicessi: la somma di due numeri pari è pari. In particolare la somma di un numero [tex]k[/tex] pari e il numero [tex]k+4[/tex] è pari.
Ed è la stessa cosa dire: la disuguaglianza (*) vale per ogni [tex]v,w\in V[/tex] e per ogni [tex]a,b\in\mathbb{R}[/tex]. In particolare (*) vale per ogni [tex]v,w\in V[/tex] e per [tex]a=\langle v,v \rangle[/tex] e [tex]b=-\langle v,w \rangle[/tex].

Non so se mi sono spiegato. Se hai ancora qualche dubbio chiedi pure...

[jitter1]

Ciao Cirasa
in realtà ancora non mi torna… ma non perché la tua “spiega” non sia chiara 
Cerco di esprimere meglio il mio dubbio…

Facciamo che la disuguaglianza che tu hai chiamato “*” sia $ P(a, b). $
Questa $ P(a, b) $ è vera $ AA a, b $ , quindi anche per particolari a e b.
Allori prendo opportuni a e b, da cui discende una proposizione $ Q(a,b) $ che nel nostro caso è la disuguaglianza di Schwarz.

E’ fatta così la dimostrazione?
In pratica, quello che non capisco non è il passaggio da $ P(a, b) $ a $ P(3, 4) $ [3, 4 per dire "valori particolari"], ma il passaggio da P(3, 4) a Q(a,b).
Cioè, il fatto che:
una proposizione è vera per ogni valore, quindi anche per valori particolari…
mi è chiaro, ma non lo è il fatto che:
prendendo valori particolari viene fuori un’altra proposizione (la disuguaglianza di Schwarz) in cui l’aver preso valori particolari non influisce.

Spero di non aver fatto ancora più casino.....

[cirasa]

Concordo sul fatto che

"jitter":In pratica, quello che non capisco non è il passaggio da $ P(a, b) $ a $ P(3, 4) $ [3, 4 per dire "valori particolari"], ma il passaggio da P(3, 4) a Q(a,b).

cioè che
1) se una proposizione $P(a,b)$ è vera per ogni valore di $a,b$ allora in particolare è vera anche per $a=3. b=4$ (naturalmente 3 e 4 sono valori semplificativi);
2) se è vera $P(3,4)$ certamente non posso concludere che $P(a,b)$ è vera per ogni valore di $a,b$.

E fini qui penso che siamo d'accordo, giusto?

Ora veniamo alla nostra disuguaglianza.
Chiamiamo la disuguaglianza iniziale $P(v,w,a,b)$ (dipende da $v,w\in V$ e da $a,b\in RR$), cioè
P(v,w,a,b) [tex]$ 0 \leq \langle av+bw, av+bw\rangle^2 = a^2 \langle v, v\rangle + 2 ab \langle v, w\rangle + b^2 \langle w, w\rangle[/tex]

Questa qui è vera per ogni $v,w\in V$ e per ogni $a,b\in RR$. D'accordo con me? Abbiamo usato gli assiomi di prodotto scalare definito positivo che valgono per ogni scelta dei vettori.
Ora se è vera $P(v,w,a,b)$ per ogni $v,w\in V$ e per ogni $a,b\in RR$, allora sarà vera anche $P(v,w,,- )$ per ogni $v,w\in V$. Nota che questo passaggio è come in 1) su cui eravamo d'accordo e non come in 2).
Da un uguaglianza vera sempre, ho estratto il caso particolare.
Ma dalla disuguaglianza $P(v,w,,- )$ ricavo la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, vera appunto per ogni $v,w\in V$.

Ti ho convinto?

[jitter1]

Sììììì!... O forse no? Forse sì, no, mah, però, chissà....
Fino all'ultima riga convintissima sembra ombra di dubbio... poi sul finale, tant'è... porca misera, avrò mai pace?

Dunque, ci sono tre implicazioni:
$ A -> B $ (A è generale e B particolare)
$ B -> C $ (B è particolare e C generale)

Aspè, forse ci sono ma ho un'idea vaga...
se dico $ B -> C $, con B particolare e C generale, lo posso fare perché B è implicato da una proposizione vera sempre? Quindi alla fine ho semplicemente una piccola catena di proposizioni vere, di cui una implica l'altra? E non importa se una di queste (la B) è una funzione di valori particolari?

Ti prego, per pietà non mi ammazzare. Risparmiami.

[cirasa]

"jitter":Dunque, ci sono tre implicazioni:
$ A -> B $ (A è generale e B particolare)
$ B -> C $ (B è particolare e C generale)

No, c'è un solo tipo di implicazione in questa dimostrazione ed è la seguente
( $P(v,w,a,b)$ per ogni valore di $v,w$, $a,b$ ) implica ( $P(v,w,, - )$ per ogni $v,w$ ).
E questa implicazione è del tipo "generale $\Rightarrow$ particolare" che è l'unica che funziona.

Non puoi dirmi che in questa dimostrazione ci sono implicazioni del tipo "particolare $\Rightarrow$ generale" perchè non è vero, non ce ne sono e, se ce ne fossero, l'implicazione sarebbe in generale falsa.

[jitter1]

Hai ragione… però “particolare implica generale” non era riferito alle stesse “variabili”….
Ma non insisto più perché lo so che sto sbagliando: a questo punto continuerei a scrivere cose sbagliate espresse diversamente. Son quei dubbi-tarlo su cui mi fisso ogni tanto quando nella mia testa si crea un dubbio di base! Quando trovo una dimostrazione analoga magari capisco meglio!

[cirasa]

Ok, forse hai solo bisogno di rifletterci un po' su a mente fresca
Io non trovo altre parole per spiegarlo meglio...

[jitter1]

Ma sei stato gentilissimo!

[studentessa CdLmate]

Ragazzi io ho un altro problema su questa dimostrazione: i conti
Sostituendo i valori a e b nell'equazione di partenza non mi viene verificata la tesi!!
Grazie infinite per l'aiuto!!

[Gi81]

Prova a scrivere i conti, così cerchiamo gli (eventualil) errori

[gugo82]

Fai bene i passaggi e metti in evidenza, non mi pare ci siano problemi.

[studentessa CdLmate]

Sicuramente sbaglio i conti io.. intanto se $ a = $$ (w.w ) $ e $ b = $ $ - $$ (w.v ) $ ,sostituendo nella formula $ ( aw + bv)^2 = a^2w^2 + b^2v^2 + 2abwv $ viene: $ [(w^2)^2w^2 - (wv)^2v^2 - 2w^2(wv)wv ] $ e non so come andare avanti!!

[Gi81]

Non è $(aw+bv)^2$. E' $(av+bw)^2$
$^2 = a^2 + 2 ab + b^2 =0 $ per qualsiasi $ a, b in R $
Ponendo $ a = $ e $ b = - $ si ottiene
$w^4v^2+2w^2(- )()+(- )^2w^2=w^2(w^2v^2-2()^2+()^2)=w^2(v^2w^2-()^2)$
Tutto ciò è sempre maggiore o uguale a $0$, ovvero
$w^2(v^2w^2-()^2)>=0$. Ora sai andare avanti?

[studentessa CdLmate]

Si ora divido entrambi i membri per $ w^2 $ che è sempre $ >0 $ perchè nelle hp all'inizio avevamo escluso che $ w=0 $ e viene la tesi!! Giusto no?? grazie mille!! e scusate per la domanda banale!!

[cappellaiomatto1]

"jitter":
$ 0 <= ^2 = a^2 + 2 ab + b^2 $ per qualsiasi $ a, b in R $ (fin qui ci sono)

ma è sicuro? io su più di un libro avrei trovato questa notazione
$ 0 <= = a^2 + 2 ab + b^2 $

[cappellaiomatto1]

"jitter":
$ 0 <= ^2 = a^2 + 2 ab + b^2 $ per qualsiasi $ a, b in R $ (fin qui ci sono)

ma è sicuro? io su più di un libro avrei trovato questa notazione
$ 0 <= = a^2 + 2 ab + b^2 $

[cappellaiomatto1]

"jitter":
$ 0 <= ^2 = a^2 + 2 ab + b^2 $ per qualsiasi $ a, b in R $ (fin qui ci sono)

ma è sicuro? io su più di un libro avrei trovato questa notazione
$ 0 <= = a^2 + 2 ab + b^2 $

[cappellaiomatto1]

chiedo scusa per aver risposto tre volte ma la connessione mi gioca brutti scherzi...