Disuguaglianza di Schwarz (dim)

jitter1
Un dubbio mi sa terra-terra ma che non riesco a giustificare...

E' sulla dimostrazione della disuguaglianza di Schwarz.

$ ^2 <= $ (dove $ $ è il prodotto scalare di v e w)

Dim.
$ 0 <= ^2 = a^2 + 2 ab + b^2 $ per qualsiasi $ a, b in R $ (fin qui ci sono)

Prendendo in particolare
$ a = $ e $ b = - $

... si fanno i calcoli ed esce la tesi.

Però non ho capito come mai prendere un valore particolare di a e b non fa perdere generalità.

Grazie, ciao!

Risposte
cirasa
La disuguaglianza
(*) [tex]$ 0 \leq \langle av+bw, av+bw\rangle^2 = a^2 \langle v, v\rangle + 2 ab \langle v, w\rangle + b^2 \langle w, w\rangle[/tex]
vale per ogni [tex]v,w\in V[/tex] e per ogni [tex]a,b\in\mathbb{R}[/tex].
In particolare vale per [tex]a,b[/tex] uguali a quei due valori.

E' come se ti dicessi: la somma di due numeri pari è pari. In particolare la somma di un numero [tex]k[/tex] pari e il numero [tex]k+4[/tex] è pari.
Ed è la stessa cosa dire: la disuguaglianza (*) vale per ogni [tex]v,w\in V[/tex] e per ogni [tex]a,b\in\mathbb{R}[/tex]. In particolare (*) vale per ogni [tex]v,w\in V[/tex] e per [tex]a=\langle v,v \rangle[/tex] e [tex]b=-\langle v,w \rangle[/tex].

Non so se mi sono spiegato. Se hai ancora qualche dubbio chiedi pure...

jitter1
Ciao Cirasa
in realtà ancora non mi torna… ma non perché la tua “spiega” non sia chiara 
Cerco di esprimere meglio il mio dubbio…

Facciamo che la disuguaglianza che tu hai chiamato “*” sia $ P(a, b). $
Questa $ P(a, b) $ è vera $ AA a, b $ , quindi anche per particolari a e b.
Allori prendo opportuni a e b, da cui discende una proposizione $ Q(a,b) $ che nel nostro caso è la disuguaglianza di Schwarz.

E’ fatta così la dimostrazione?
In pratica, quello che non capisco non è il passaggio da $ P(a, b) $ a $ P(3, 4) $ [3, 4 per dire "valori particolari"], ma il passaggio da P(3, 4) a Q(a,b).
Cioè, il fatto che:
una proposizione è vera per ogni valore, quindi anche per valori particolari…
mi è chiaro, ma non lo è il fatto che:
prendendo valori particolari viene fuori un’altra proposizione (la disuguaglianza di Schwarz) in cui l’aver preso valori particolari non influisce.

Spero di non aver fatto ancora più casino.....

cirasa
Concordo sul fatto che
"jitter":
In pratica, quello che non capisco non è il passaggio da $ P(a, b) $ a $ P(3, 4) $ [3, 4 per dire "valori particolari"], ma il passaggio da P(3, 4) a Q(a,b).

cioè che
1) se una proposizione $P(a,b)$ è vera per ogni valore di $a,b$ allora in particolare è vera anche per $a=3. b=4$ (naturalmente 3 e 4 sono valori semplificativi);
2) se è vera $P(3,4)$ certamente non posso concludere che $P(a,b)$ è vera per ogni valore di $a,b$.

E fini qui penso che siamo d'accordo, giusto?

Ora veniamo alla nostra disuguaglianza.
Chiamiamo la disuguaglianza iniziale $P(v,w,a,b)$ (dipende da $v,w\in V$ e da $a,b\in RR$), cioè
P(v,w,a,b) [tex]$ 0 \leq \langle av+bw, av+bw\rangle^2 = a^2 \langle v, v\rangle + 2 ab \langle v, w\rangle + b^2 \langle w, w\rangle[/tex]

Questa qui è vera per ogni $v,w\in V$ e per ogni $a,b\in RR$. D'accordo con me? Abbiamo usato gli assiomi di prodotto scalare definito positivo che valgono per ogni scelta dei vettori.
Ora se è vera $P(v,w,a,b)$ per ogni $v,w\in V$ e per ogni $a,b\in RR$, allora sarà vera anche $P(v,w,,- )$ per ogni $v,w\in V$. Nota che questo passaggio è come in 1) su cui eravamo d'accordo e non come in 2).
Da un uguaglianza vera sempre, ho estratto il caso particolare.
Ma dalla disuguaglianza $P(v,w,,- )$ ricavo la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, vera appunto per ogni $v,w\in V$.

Ti ho convinto? :-D

jitter1
Sììììì!... O forse no? Forse sì, no, mah, però, chissà....
Fino all'ultima riga convintissima sembra ombra di dubbio... poi sul finale, tant'è... porca misera, avrò mai pace?

Dunque, ci sono tre implicazioni:
$ A -> B $ (A è generale e B particolare)
$ B -> C $ (B è particolare e C generale)

Aspè, forse ci sono ma ho un'idea vaga...
se dico $ B -> C $, con B particolare e C generale, lo posso fare perché B è implicato da una proposizione vera sempre? Quindi alla fine ho semplicemente una piccola catena di proposizioni vere, di cui una implica l'altra? E non importa se una di queste (la B) è una funzione di valori particolari?

Ti prego, per pietà non mi ammazzare. Risparmiami.
:smt021

cirasa
"jitter":
Dunque, ci sono tre implicazioni:
$ A -> B $ (A è generale e B particolare)
$ B -> C $ (B è particolare e C generale)

No, c'è un solo tipo di implicazione in questa dimostrazione ed è la seguente
( $P(v,w,a,b)$ per ogni valore di $v,w$, $a,b$ ) implica ( $P(v,w,, - )$ per ogni $v,w$ ).
E questa implicazione è del tipo "generale $\Rightarrow$ particolare" che è l'unica che funziona.

Non puoi dirmi che in questa dimostrazione ci sono implicazioni del tipo "particolare $\Rightarrow$ generale" perchè non è vero, non ce ne sono e, se ce ne fossero, l'implicazione sarebbe in generale falsa.

jitter1
Hai ragione… però “particolare implica generale” non era riferito alle stesse “variabili”….
Ma non insisto più perché lo so che sto sbagliando: a questo punto continuerei a scrivere cose sbagliate espresse diversamente. Son quei dubbi-tarlo su cui mi fisso ogni tanto quando nella mia testa si crea un dubbio di base! Quando trovo una dimostrazione analoga magari capisco meglio!

cirasa
Ok, forse hai solo bisogno di rifletterci un po' su a mente fresca :-)
Io non trovo altre parole per spiegarlo meglio...:wink:

jitter1
Ma sei stato gentilissimo!

studentessa CdLmate
Ragazzi io ho un altro problema su questa dimostrazione: i conti ](*,)
Sostituendo i valori a e b nell'equazione di partenza non mi viene verificata la tesi!!
Grazie infinite per l'aiuto!! :)

Gi81
Prova a scrivere i conti, così cerchiamo gli (eventualil) errori

gugo82
Fai bene i passaggi e metti in evidenza, non mi pare ci siano problemi.

studentessa CdLmate
Sicuramente sbaglio i conti io.. intanto se $ a = $$ (w.w ) $ e $ b = $ $ - $$ (w.v ) $ ,sostituendo nella formula $ ( aw + bv)^2 = a^2w^2 + b^2v^2 + 2abwv $ viene: $ [(w^2)^2w^2 - (wv)^2v^2 - 2w^2(wv)wv ] $ e non so come andare avanti!! :oops:

Gi81
Non è $(aw+bv)^2$. E' $(av+bw)^2$
$^2 = a^2 + 2 ab + b^2 =0 $ per qualsiasi $ a, b in R $
Ponendo $ a = $ e $ b = - $ si ottiene
$w^4v^2+2w^2(- )()+(- )^2w^2=w^2(w^2v^2-2()^2+()^2)=w^2(v^2w^2-()^2)$
Tutto ciò è sempre maggiore o uguale a $0$, ovvero
$w^2(v^2w^2-()^2)>=0$. Ora sai andare avanti?

studentessa CdLmate
Si ora divido entrambi i membri per $ w^2 $ che è sempre $ >0 $ perchè nelle hp all'inizio avevamo escluso che $ w=0 $ e viene la tesi!! Giusto no?? :) :) grazie mille!! e scusate per la domanda banale!!

cappellaiomatto1
"jitter":

$ 0 <= ^2 = a^2 + 2 ab + b^2 $ per qualsiasi $ a, b in R $ (fin qui ci sono)



ma è sicuro? io su più di un libro avrei trovato questa notazione
$ 0 <= = a^2 + 2 ab + b^2 $

cappellaiomatto1
"jitter":

$ 0 <= ^2 = a^2 + 2 ab + b^2 $ per qualsiasi $ a, b in R $ (fin qui ci sono)



ma è sicuro? io su più di un libro avrei trovato questa notazione
$ 0 <= = a^2 + 2 ab + b^2 $

cappellaiomatto1
"jitter":

$ 0 <= ^2 = a^2 + 2 ab + b^2 $ per qualsiasi $ a, b in R $ (fin qui ci sono)



ma è sicuro? io su più di un libro avrei trovato questa notazione
$ 0 <= = a^2 + 2 ab + b^2 $

cappellaiomatto1
chiedo scusa per aver risposto tre volte ma la connessione mi gioca brutti scherzi...

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.