Disuguaglianza cauchy-schwarz

[leffy13]

ho un esercizio che mi chiede di spiegare brevemente l'importanza della disuguaglianza di cauchy-schwarz. che importanza ha??

[gugo82]

"leffy13":ho un esercizio che mi chiede di spiegare brevemente l'importanza della disuguaglianza di cauchy-schwarz. che importanza ha??

Innanzitutto ricorda che la disuguaglianza di C-S è la seguente proprietà del prodotto scalare su uno spazio vettoriale (reale o complesso) $V$:

$AA x,y in V, quad |\langle x, y \rangle| le ||x||_V*||y||_V$

ove $\langle \cdot, \cdot \rangle$ e $||\cdot||_V$ sono, rispettivamente, il prodotto scalare e la norma da esso indotta su $V$.
Da essa si desume la disuguaglianza triangolare (che rende $||\cdot||_V$ una norma su $V$); si desume la continuità del prodotto scalare in entrambe ed in ognuna delle due variabili da cui dipende; si trae che, per fissato $y in V$, il funzionale lineare $y^**(x)= \langle x, y\rangle$ è limitato (e perciò continuo) in $V$ ed ha norma $||y^**||_(V^**)=||y||_V$ cosicché si riesce ad immergere isometricamente $V$ nel suo duale $V^**$.
Geometricamente, la disuguaglianza di C-S viene usata per introdurre la nozione di angolo formato da due vettori non nulli.

Inoltre la disuguaglianza di C-S viene provata senza usare la definitezza positiva del prodotto scalare $\langle \cdot, \cdot \rangle$, cosicché è possibile affermare che essa vale più in generale per ogni forma bilineare $a(\cdot, \cdot)$ su $V^2$ simmetrica e semidefinita positiva: in tal caso la disuguaglianza diviene:

$AA x,y in V, quad |a(x,y)|le a(x,x)*a(y,y) quad$.

Questa disuguaglianza torna utile in Geometria Differenziale: in tale ambito vengono studiate le cosiddette varietà riemanniane (o pseudo-reimanniane), oggetti $S$ sui quali è definita una metrica (o pseudo-metrica) attraverso una famiglia di forme bilineari ${a_P(\cdot, \cdot)}_(P in S)$ simmetriche e definite positive (o semidefinite positive) indicizzata sui punti $P in S$, ognuna delle quali agisce sui vettori dello spazio tangente ad $S$ in $P$ (che di solito si denota col simbolo $T_P(S)$ ed è uno spazio vettoriale). Qui la disuguaglianza di C-S viene usata come sopra, per stabilire che la funzione indotta dalla famiglia ${a_P(\cdot, \cdot)}_(P in S)$ gode della proprietà triangolare ed è effettivamente una metrica (o pseudo-metrica) sopra $S$; inoltre tramite essa può essere introdotta la nozione di "angolo tra due curve giacenti su $S$" e perciò la disuguaglianza di C-S serve anche a stabilire che tipo di Geometria si può fare sulla varietà $S$.

Spero ti sia servito a farti un'idea.

[leffy13]

grazie mille

[gugo82]

Prego.

Solo ora mi accorgo di aver sbagliato a scrivere il secondo membro della disuguaglianza di C-S generalizzata: il secondo membro corretto è $sqrt(a(x,x))*sqrt(a(y,y))$.

[leffy13]

tranqui, la generalizzata non mi serve