Distanza tra vettori e intorno sferico
Ho un dubbio con il seguente esercizio:
quali sono gli intorni sferici di \( \mathbb{R}^2 \) indotti dalla metrica \( d(x,y)=|x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|\).
Se un intorno sferico è un insieme i cui elementi sono dei vettori, centrati in \(x\), e che distano da \(x\) della lunghezza \(d\):
\( S(x,r)=\{y \in \mathbb{R}^2 | d(x,y) < r\}\)
in che modo determino gli intorni che sono funzione della nuova definizione di \(d(x,y)\) ??
Spero che la domanda sia chiara...
quali sono gli intorni sferici di \( \mathbb{R}^2 \) indotti dalla metrica \( d(x,y)=|x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|\).
Se un intorno sferico è un insieme i cui elementi sono dei vettori, centrati in \(x\), e che distano da \(x\) della lunghezza \(d\):
\( S(x,r)=\{y \in \mathbb{R}^2 | d(x,y) < r\}\)
in che modo determino gli intorni che sono funzione della nuova definizione di \(d(x,y)\) ??
Spero che la domanda sia chiara...
Risposte
Cercati le palle centrate in $0_(RR^2) =((0),(0))$, così capisci come sono fatte:
$B_0(r,d)={x in RR^2 | d(x,0)=r}={x in RR^2 | |x_1-0| + |x_2 -0|=r}= {x in RR^2| |x_1| + |x_2|=r}$
Distinguiamo i quattro quadranti:
$\{({x in RR_(++)^2 | x_1+x_2=r}),({x in RR_(+ -)^2 | x_1-x_2=r}),({x in RR_(-+)^2| -x_1+x_2=r}), ({x in RR_(--)^2| -x_1-x_2=r}):} $
Riesci a capire come è fatto?!
$B_0(r,d)={x in RR^2 | d(x,0)=r}={x in RR^2 | |x_1-0| + |x_2 -0|=r}= {x in RR^2| |x_1| + |x_2|=r}$
Distinguiamo i quattro quadranti:
$\{({x in RR_(++)^2 | x_1+x_2=r}),({x in RR_(+ -)^2 | x_1-x_2=r}),({x in RR_(-+)^2| -x_1+x_2=r}), ({x in RR_(--)^2| -x_1-x_2=r}):} $
Riesci a capire come è fatto?!
Credo di no.... Potresti essere più esplicito?
Ti faccio un disegno 
Queste sono le palle ( una sopra l'altra) di raggio intero da 1 a 6
Queste sono le palle ( una sopra l'altra) di raggio intero da 1 a 6
Certo che per essere delle palle mi sembrano appena, appena approssimate 
Comunque, il raggio da 1 a 6 l'hai scelto a caso o deriva da qualcosa che mi sfugge (è più probabile questa seconda ipotesi
)?
Comunque, il raggio da 1 a 6 l'hai scelto a caso o deriva da qualcosa che mi sfugge (è più probabile questa seconda ipotesi
)?
No sono così le palle! Sono quadrati!
Da 1 a 6 perché mi piaceva avere i colori così disposti!
Da 1 a 6 perché mi piaceva avere i colori così disposti!
Una piccola precisazione... I lati del quadrato delimitano la palla.
Ok, allora prima cerco di capire meglio questa cosa della palle quadrate e poi mi rifaccio vivo; per ora vi ringrazio per la disponibilità.
e poi mi rifaccio vivo; per ora vi ringrazio per la disponibilità.
Giusto! Ovviamente mi sono dimenticato di riempire le palle.. Grazie Seneca!
P.S. Che le palle siano tonde è molto molto raro
P.S. Che le palle siano tonde è molto molto raro
Ok, ora è chiaro per cui le palle sono quadrate.... e non poteva essere altrimenti vista la definizione data della distanza 
In generale, volendo analizzare altri casi simili, basta che mi studio un intorno sferico centrato in \(0 \in \mathbb{R}^n\) e poi vedo i vari casi che si possono presentare?
In generale, volendo analizzare altri casi simili, basta che mi studio un intorno sferico centrato in \(0 \in \mathbb{R}^n\) e poi vedo i vari casi che si possono presentare?
Lo studio delle palle in 0 funziona solo se la distanza è indipendente dalla posizione. Se prendi la distanza dei treni francesi, per esempio, le palle in 0 sono diverse da quelle in ogni altro punto..
Credo di aver solo intuito la tua risposta... 
Questa è la distanza dei treni francesi, la distanza $delta$ è quella che descriviamo mentre $d$ è la distanza standard su $RR^2$:
$delta(x,y)= \{(d(x,y), \text{se} x_1/x_2=y_1/y_2),(d(x,0)+d(y,0), \text{altrimenti}):} $
Prova a mostrarmi che questa è una distanza e come sono fatte le palle in $((0),(1))$ e in $((0),(0))$
$delta(x,y)= \{(d(x,y), \text{se} x_1/x_2=y_1/y_2),(d(x,0)+d(y,0), \text{altrimenti}):} $
Prova a mostrarmi che questa è una distanza e come sono fatte le palle in $((0),(1))$ e in $((0),(0))$
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