Distanza tra punti di cui sono note coordinate geografiche

[DavideGenova1]

Mi è venuta la curiosità di sapere come si calcola la lunghezza dell'arco tra due punti su una sfera di raggio noto $R$ di cui siano noti la longitudine, rispettivamente \(\theta_1\) e \(\theta_2\), e la latitudine, rispettivamente \(\varphi_1\) e \(\varphi_2\).
Ho trovato la formula $$d=R\text{ arccos}(\sin\varphi_1\sin\varphi_2+\cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos(\theta_1-\theta_2) ).$$
Qualcuno ne conosce una dimostrazione, meglio se linkabile da un sito perché immagino che sia utile un disegnino difficile da riprodurre qui...
$\infty$ grazie!

[dissonance]

http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus

Cerca nel primo paragrafo, ci sono varie formule, tra cui quella che ti interessa.

P.S.: Trovata, è la formula (2).

[DavideGenova1]

Grazie!!! Che scemo che sono stato, l'angolo tra \(\mathbf{x}\) e \(\mathbf{x}'\) è \(\text{arccos}\left(\frac{\langle \mathbf{x},\mathbf{x}'\rangle}{\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{x}'\|}\right)\) (nel documento linkato c'è un refusetto al denominatore con un prodotto scalare per se stesso al posto della norma)! Perciò, usando coordinate polari con latitudine \(\varphi\) e longitudine \(\theta\) per \(\mathbf{x}\), e latitudine \(\varphi'\) e longitudine \(\theta'\) per \(\mathbf{x}'\), ottengo che $$d(\mathbf{x},\mathbf{x}')=R\text{ arccos}(\cos\varphi\cos\theta\cos\varphi'\cos\theta'+\cos\varphi\sin\theta\cos\varphi'\sin\theta'+\sin\varphi\sin\varphi')$$ e, riordinando gli addendi dell'argomento dell'arcocoseno e utilizzando l'identità \(\cos\theta\cos\theta'+\sin\theta\sin\theta'=\cos(\theta-\theta')\), si conclude. Grazie ancora!

[dissonance]

Hai ragione, manca una radice quadrata.