Distanza tra due rette r ed s
Determinare la distanza tra due rette $r$ ed $s$ dopo aver dimostrato che sono parallele
$\r{(x + z-2=0),(y + z-3 = 0):}$ $\s{(x =y+1),(z = -y+3):}$
ragazzi non so come svolgere questo esercizio dato che è la prima volta che mi capita.
Grazie in anticipo a chi mi aiuta.
$\r{(x + z-2=0),(y + z-3 = 0):}$ $\s{(x =y+1),(z = -y+3):}$
ragazzi non so come svolgere questo esercizio dato che è la prima volta che mi capita.
Grazie in anticipo a chi mi aiuta.
Risposte
Un punto che appartiene ad r deve soddisfare le sue due eq, stessa cosa per s.
Un punto in comune (intersezione) deve soddisfarle tutte e 4.
Fai allora un sistema con tutte 4 le eq e scopri che il sistema non ha soluzione: hai dimostrato che sono o sghembe o parallele.
Per verificare che siano parallele ricava il vettore direzione da entrambe e controlla che sia uguale
Un punto in comune (intersezione) deve soddisfarle tutte e 4.
Fai allora un sistema con tutte 4 le eq e scopri che il sistema non ha soluzione: hai dimostrato che sono o sghembe o parallele.
Per verificare che siano parallele ricava il vettore direzione da entrambe e controlla che sia uguale
r, chiamando $\alpha:=z$
${(x=2-\alpha),(y=3-\alpha),(z=\alpha):}$
s, chiamando $\beta:= y$
${(x=\beta+1),(y=\beta),(z=3-\beta):}$
Dunque
r:$((x),(y),(z))=((2),(3),(0))+\alpha*((-1),(-1),(1))$
s:$((x),(y),(z))=((1),(0),(3))+\beta*((1),(1),(-1))$
e dato che i due vettori direzione sono proporzionali (uno multiplo dell altro) hai che le rette sono parallele
${(x=2-\alpha),(y=3-\alpha),(z=\alpha):}$
s, chiamando $\beta:= y$
${(x=\beta+1),(y=\beta),(z=3-\beta):}$
Dunque
r:$((x),(y),(z))=((2),(3),(0))+\alpha*((-1),(-1),(1))$
s:$((x),(y),(z))=((1),(0),(3))+\beta*((1),(1),(-1))$
e dato che i due vettori direzione sono proporzionali (uno multiplo dell altro) hai che le rette sono parallele
per la distanza puoi sfruttare il fattomche siano paralleli:
la distanza è la stessa qualunque sia il punto scelto sulla retta.
fisso quindi un punto su r e calcolo la distanza da un generico punto su s:
il punto su r è (2,3,0), quello generico su s è (1+b,b,3-b)
$d^2=(2-1-b)^2+(3-b)^2+(b-3)^2=1-2b+b^2+2*(9-6b+b^2)=3b^2-14b+19$
Ora cerco il minimo:
derivata: $6b-14$ che si annulla per $b=7/3$, dove la distanza al quadrato (quindi la distanza) ha un minimo.
So quindi che il punto su s piú vicino a (2,3,0) è quando b=7/3, quindi: $(10/3,7/3,2/3)$
Ora basta calcolare la distanza tra $(2,3,0)$ e $(10/3,7/3,2/3)$
$d^2=(2-10/3)^2+(3-7/3)^2+(0-2/3)^2=16/9+4/9+4/9=24/9 => d=frac{sqrt(24)}{3}=2/3*sqrt(6)$
Spero di non aver sbagliato calcoli
la distanza è la stessa qualunque sia il punto scelto sulla retta.
fisso quindi un punto su r e calcolo la distanza da un generico punto su s:
il punto su r è (2,3,0), quello generico su s è (1+b,b,3-b)
$d^2=(2-1-b)^2+(3-b)^2+(b-3)^2=1-2b+b^2+2*(9-6b+b^2)=3b^2-14b+19$
Ora cerco il minimo:
derivata: $6b-14$ che si annulla per $b=7/3$, dove la distanza al quadrato (quindi la distanza) ha un minimo.
So quindi che il punto su s piú vicino a (2,3,0) è quando b=7/3, quindi: $(10/3,7/3,2/3)$
Ora basta calcolare la distanza tra $(2,3,0)$ e $(10/3,7/3,2/3)$
$d^2=(2-10/3)^2+(3-7/3)^2+(0-2/3)^2=16/9+4/9+4/9=24/9 => d=frac{sqrt(24)}{3}=2/3*sqrt(6)$
Spero di non aver sbagliato calcoli
Grazie 1000 
Altro modo per la distanza (sempre dando per buono che le rette siano parallele)
$r: ((x),(y),(z))=P+\alpha v$
$s: ((x),(y),(z))=Q+\beta v$
dove $P=((2),(3),(0))$, $Q=((1),(0),(3))$ e $v=((1),(1),(-1))$.
Il punto $X=Q+tv \in s$ che minimizza la distanza da $P$ è tale che $PX$ sia perpendicolare a $v$, quindi abbiamo:
$(X-P)*v=0 rArr (Q-P+tv)*v=(Q-P)*v+t v*v=0 rArr -7+3t=0 rArr t=7/3$
Sostituendo troviamo $X=((10/3),(7/3),(2/3))$, la cui distanza da $P$ é $2/3 \sqrt{6}$.
$r: ((x),(y),(z))=P+\alpha v$
$s: ((x),(y),(z))=Q+\beta v$
dove $P=((2),(3),(0))$, $Q=((1),(0),(3))$ e $v=((1),(1),(-1))$.
Il punto $X=Q+tv \in s$ che minimizza la distanza da $P$ è tale che $PX$ sia perpendicolare a $v$, quindi abbiamo:
$(X-P)*v=0 rArr (Q-P+tv)*v=(Q-P)*v+t v*v=0 rArr -7+3t=0 rArr t=7/3$
Sostituendo troviamo $X=((10/3),(7/3),(2/3))$, la cui distanza da $P$ é $2/3 \sqrt{6}$.
Per completezza ti spiego il caso di distanza tra due rette sghembe:
Se non dico cavolate:
Prendi il generico punto $P_a$ appartenente a $r$ e il generico $Q_b$ su $s$.
Nel tuo caso sarebbe $P_a=(2-a,3-a,a)$,$Q_b=(1+b,b,3-b)$
Ora trovi il vettore della retta passante per i due punti: $((1-a-b),(3-a-b),(-3+a+b))$ e lo imponi ortogonale ad entrambe le rette:
in questo hai due incognite: a,b e due equazioni: le due "ortogonalità"
trovi a e b e quindi sai quali sono i due pti: ti resta da trovare la distanza tra quei due
Questo metodo dovrebbe funzionare con due rette qualsiasi, siano esse parallele o sghembe
Se non dico cavolate:
Prendi il generico punto $P_a$ appartenente a $r$ e il generico $Q_b$ su $s$.
Nel tuo caso sarebbe $P_a=(2-a,3-a,a)$,$Q_b=(1+b,b,3-b)$
Ora trovi il vettore della retta passante per i due punti: $((1-a-b),(3-a-b),(-3+a+b))$ e lo imponi ortogonale ad entrambe le rette:
in questo hai due incognite: a,b e due equazioni: le due "ortogonalità"
trovi a e b e quindi sai quali sono i due pti: ti resta da trovare la distanza tra quei due
Questo metodo dovrebbe funzionare con due rette qualsiasi, siano esse parallele o sghembe
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