Distanza tra due rette parallele?
Salve a tutti non riesco a proseguire quest'esercizio in quanto non so una cosa...L'esercizio è questo:
Date le due rette:
$r_1)$ ${(x-z-2=0),(y-2z-5=0):}$
$r_2)$ ${(3x-y-z-2=0),(5x-2y-z-1=0):}$
Verificare se sono parallele e calcolare la loro distanza.
Dopo che ho verificato se sono parallele ho trasformato $r_1$ in forma parametrica e mi è venuto:
$r1$ ${(x=2+t),(y=5+2t),(z=t):}$ e quindi un punto $P inr_1$ è $P=(2,5,0)$
Ora per calcolarmi la distanza tra le due rette ho pensato di far passare un piano generico per $P$ e perpendicolare ad $r_2$ ottenendo cosi il punto di intersezione tra il piano $pi$ ed $r_2$ ma mi manca il procedimento per fare ciò...Come devo fare per trovare un piano passante per $P$ e ortogonale ad $r_2$ ?? Oppure c'è un altro metodo più semplice?
Date le due rette:
$r_1)$ ${(x-z-2=0),(y-2z-5=0):}$
$r_2)$ ${(3x-y-z-2=0),(5x-2y-z-1=0):}$
Verificare se sono parallele e calcolare la loro distanza.
Dopo che ho verificato se sono parallele ho trasformato $r_1$ in forma parametrica e mi è venuto:
$r1$ ${(x=2+t),(y=5+2t),(z=t):}$ e quindi un punto $P inr_1$ è $P=(2,5,0)$
Ora per calcolarmi la distanza tra le due rette ho pensato di far passare un piano generico per $P$ e perpendicolare ad $r_2$ ottenendo cosi il punto di intersezione tra il piano $pi$ ed $r_2$ ma mi manca il procedimento per fare ciò...Come devo fare per trovare un piano passante per $P$ e ortogonale ad $r_2$ ?? Oppure c'è un altro metodo più semplice?
Risposte
Il procedimento va benissimo. Quello che ti manca è questo mitico trucco che ti consiglio di imparare in quanto utilissimo:
il piano generico $ax+by+cz+d=0$ è perpendicolare al vettore $(a,b,c)$.
Questa santa cosa può essere usata in "entrambe le direzioni", nel senso che sia ti permette di trovare, dato un piano, una sua normale in un batter di ciglia, sia se hai un vettore dato puoi trovare in un secondo il piano ad esso perpendicolare (ti rimane solo il parametro $d$ libero, ma poi imponendo il passaggio per il punto che vuoi trovi anche quello).
Paola
il piano generico $ax+by+cz+d=0$ è perpendicolare al vettore $(a,b,c)$.
Questa santa cosa può essere usata in "entrambe le direzioni", nel senso che sia ti permette di trovare, dato un piano, una sua normale in un batter di ciglia, sia se hai un vettore dato puoi trovare in un secondo il piano ad esso perpendicolare (ti rimane solo il parametro $d$ libero, ma poi imponendo il passaggio per il punto che vuoi trovi anche quello).
Paola
Ti ringrazio per avermi risposto e dell utilissimo suggerimento, però non capisco una cosa io non conoscendo il piano, tramite il vettore ortogonale come collego l ortogonalità di $pi$ alla retta $r_2$?
Allora, intanto parti dal fatto che essendo le rette parallele, parlare di piano ortogonale a $r_1$ o $r_2$ è identico.
Detto ciò, dai passaggi precedenti hai già il vettore direzione di $r_1$: $(1,2,1)$. Usi questo come $(a,b,c)$ e poi imponi il passaggio per $P$ per trovare anche $d$. E poi continui come hai detto del primo post.
Paola
Detto ciò, dai passaggi precedenti hai già il vettore direzione di $r_1$: $(1,2,1)$. Usi questo come $(a,b,c)$ e poi imponi il passaggio per $P$ per trovare anche $d$. E poi continui come hai detto del primo post.
Paola
Perfetto ti ringrazio per la dritta 
dopo che ho fatto questo mi è bastato mettere a sistema le equazioni di $pi$ e $r_2$ cosi da trovare il loro punto di intersezione e poi ho applicato la formula della distanza tra i due punti
dopo che ho fatto questo mi è bastato mettere a sistema le equazioni di $pi$ e $r_2$ cosi da trovare il loro punto di intersezione e poi ho applicato la formula della distanza tra i due punti
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