Distanza tra due rette parallele
Salve a tutti, ho un problema che mi sta bloccando.
Se io ho due rette parallele, e conosco l'equazione solo di una, che è $r: x+2y+3=0$ e conosco la distanza tra le due rette, che è $h$, come faccio a trovare l'equazione dell'altra retta?
Grazie in anticipo.
Se io ho due rette parallele, e conosco l'equazione solo di una, che è $r: x+2y+3=0$ e conosco la distanza tra le due rette, che è $h$, come faccio a trovare l'equazione dell'altra retta?
Grazie in anticipo.
Risposte
Si suppone che ci si trovi nel piano e che sia \(h >0\). Allora vi sono due rette che soddisfano il problema, di equazioni :
\(x+2y+3\pm h \sqrt5 =0\)
\(x+2y+3\pm h \sqrt5 =0\)
il $sqrt(5)$ come è venuto fuori?
La distanza di due rette parallele di equazioni :
\(ax+by+c=0,ax+by+c'=0\)
è data dalla formula :
\(d=\frac{|c'-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
Nel nostro caso le due rette sono :
\( x+2y+3=0,x+2y+c'=0\)
Pertanto, in base alla formula, la distanza sarà:
\(d=\frac{|c'-3|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{|c'-3|}{\sqrt 5}\)
Eguagliando tale distanza al valore dato h, abbiamo:
\(\frac{|c'-3|}{\sqrt 5}=h\)
da cui :
\(c'=3\pm h\sqrt 5\)
Sostituendo questo valore di c' nell'equazione corrispondente si ha :
\(x+2y+3\pm h\sqrt 5=0\)
\(ax+by+c=0,ax+by+c'=0\)
è data dalla formula :
\(d=\frac{|c'-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
Nel nostro caso le due rette sono :
\( x+2y+3=0,x+2y+c'=0\)
Pertanto, in base alla formula, la distanza sarà:
\(d=\frac{|c'-3|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{|c'-3|}{\sqrt 5}\)
Eguagliando tale distanza al valore dato h, abbiamo:
\(\frac{|c'-3|}{\sqrt 5}=h\)
da cui :
\(c'=3\pm h\sqrt 5\)
Sostituendo questo valore di c' nell'equazione corrispondente si ha :
\(x+2y+3\pm h\sqrt 5=0\)
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