Distanza tra due rette
salve spero che mi possiate aiutare con questo problema:
date due rette:
x+2z=2
r: {
3x+z=-1
y+z=0
s: {
x-3z=0
come faccio a trovare la distanza tra queste due rette? ma soprattutto come faccio a definire una equazione singola per ogni retta e non un sistema di due equazioni (dove queste indicano dei piani)?
grazie in anticipo!
date due rette:
x+2z=2
r: {
3x+z=-1
y+z=0
s: {
x-3z=0
come faccio a trovare la distanza tra queste due rette? ma soprattutto come faccio a definire una equazione singola per ogni retta e non un sistema di due equazioni (dove queste indicano dei piani)?
grazie in anticipo!
Risposte
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scusa ma sono alle prime armi con questo forum molto interessante,
riformulo:
r: $\{(x+2z=2),(3x+z=-1):}$
s: $\{(y+z=0),(x-3z=0):}$
hai idea di come trovare la distanza tra queste due rette? ma soprattutto come faccio a definire una equazione singola per ogni retta e non un sistema di due equazioni (dove queste indicano dei piani)?
grazie in anticipo!
riformulo:
r: $\{(x+2z=2),(3x+z=-1):}$
s: $\{(y+z=0),(x-3z=0):}$
hai idea di come trovare la distanza tra queste due rette? ma soprattutto come faccio a definire una equazione singola per ogni retta e non un sistema di due equazioni (dove queste indicano dei piani)?
grazie in anticipo!
Beh ci sono diversi modi. Prima cosa da chiarire è che siamo in $E^3$ quindi una retta viene rappresentata tramite due equazioni (leggi un pò la teoria)^^. Seconda cosa, secondo me sarebbe utile vedere come sono tra loro queste rette: parallele, ortogonali, incidenti!?
sisi sono in $ E^3 $ per quello , probabilmente sono parallele, ma quello non è di fondamentale importanza xkè ho visto su wikipedia che esiste il modo di calcolare la distanza anche tra due rette sghembe, il priblema principale è riuscire a rappresentare queste due rette come equazioni singole e non come intersezione di due piani e dunque sistema....xò non so come partire....
nessuna idea sulla distanza tra due rette scritte in quel modo? (o volendo in forma parametrica)
Prova a farti un disegno di due rette parallele e ragiona un pò su come è possibile calcolare la distanza.
Se le rette sono sghembe puoi calcolarti la distanza minima, però prima devi ricavarti la perpendicolare comune (nel senso che è perpendicolare ad entrambe le rette)
Se le rette sono sghembe puoi calcolarti la distanza minima, però prima devi ricavarti la perpendicolare comune (nel senso che è perpendicolare ad entrambe le rette)
Anche io avrei bisogno di una mano su questo argomento.
Ho ricavato che 2 rette sono sghembe, il problema è che non riesco a calcolarmi la comune perpendicolare.
Intuitivamente ( ero assente per malattia quando la proff lo ha spiegato penso in via pratica) calcoli i vettori direttore e ne faccio il prodotto vettoriale? il vettore che ricavo lo pongo a sistema con le 2 rette e trovo i punti in comune e poi faccio la distanza tra i punti?
Ma Non penso sia la risposta giusta xd...
Ho ricavato che 2 rette sono sghembe, il problema è che non riesco a calcolarmi la comune perpendicolare.
Intuitivamente ( ero assente per malattia quando la proff lo ha spiegato penso in via pratica) calcoli i vettori direttore e ne faccio il prodotto vettoriale? il vettore che ricavo lo pongo a sistema con le 2 rette e trovo i punti in comune e poi faccio la distanza tra i punti?
Ma Non penso sia la risposta giusta xd...
"geomematica":
sisi sono in $ E^3 $ .....
il priblema principale è riuscire a rappresentare queste due rette come equazioni singole e non come intersezione di due piani e dunque sistema....xò non so come partire....
sai, credo che in $ E^3 $ tu non possa in alcun modo rappresentarle con un'equazione singola, anche se consideri la forma parametrica, perchè in questo caso avrai tante equazioni quanto è la dimensione dello spazio ambiente e tanti parametri quanto è la dimensione del sottospazio da rappresentare...
"kiblast":
Intuitivamente ( ero assente per malattia quando la proff lo ha spiegato penso in via pratica) calcoli i vettori direttore e ne faccio il prodotto vettoriale? il vettore che ricavo lo pongo a sistema con le 2 rette e trovo i punti in comune e poi faccio la distanza tra i punti?
Ma Non penso sia la risposta giusta xd...
Non conosco il metodo che vuoi intendere tu, comunque se fai una ricerca sul forum sicuramente troverai qualche discussione sulla perpendicolare comune.
Comunque la distanza minima tra due rette sghembe si può trovare anche senza calcolare la perpendicolare comune (prima mi era sfuggito questo fatto).
Supponiamo che [tex]r[/tex] ed [tex]s[/tex] siano due rette sghembe. Determini il piano contenente [tex]r[/tex] e parallelo alla retta [tex]s[/tex], e chiamiamo [tex]\delta[/tex] questo piano.
Quindi a questo punto la distanza cercata è uguale alla distanza di un punto di [tex]s[/tex] dal piano [tex]\delta[/tex]
allora, per la rappresentazione di una retta con una singola equazione mi sono accorto anche io di aver detto una fesseria 
comunque io so di certo che le due rette sono sghembe perché risolvendo il sistema $ { (r :{ ( x+2z=2 ),( 3x+z=-1 ):} ),( s:{ ( y+z=0 ),( x-3z=0 ):} ):} $ mi risulta (associando al sistema una matrice) che il
$ r(A)=3!=4=r(ab) $ poi però come faccio a fare la loro distanza?
cioè io riesco a prendere un punto su una retta e calcolare quella ortogonale passante per quel punto, ma a quel punto potrei calcolare la distanza tra due rette (parallele) calcolandomi il punto di intersezione con l'altra retta e facendo la differenza tra le norme dei due vettori, ma come faccio se sono sghembe?
cioè come consiglia Alxxx28 dal fascio di piani generato da $ r $ riesco a ricavare quello parallelo ad $ s $ ponendo i coefficienti $ a,b,c $ del piano uguali ai coefficienti direttivi di $ s $ e lo chiamo $ pi $, poi posso dal fascio di piani generato dalla retta $ s $ trovare quello ortogonale a $ pi $ e chiamarlo $ pi' $
a questo punto posso intersecare $ pi' $ con la retta $ r $ e ricavare un punto $ D $
ora faccio la proiezione ortogonale di $ D $ su $ s $ e trovo un punto $ D' $
quindi faccio la distanza tra i due vettori in modo classico...
potrebbe avere senso?? o come credo mi sono complicato la vita??
comunque io so di certo che le due rette sono sghembe perché risolvendo il sistema $ { (r :{ ( x+2z=2 ),( 3x+z=-1 ):} ),( s:{ ( y+z=0 ),( x-3z=0 ):} ):} $ mi risulta (associando al sistema una matrice) che il
$ r(A)=3!=4=r(ab) $ poi però come faccio a fare la loro distanza?
cioè io riesco a prendere un punto su una retta e calcolare quella ortogonale passante per quel punto, ma a quel punto potrei calcolare la distanza tra due rette (parallele) calcolandomi il punto di intersezione con l'altra retta e facendo la differenza tra le norme dei due vettori, ma come faccio se sono sghembe?
cioè come consiglia Alxxx28 dal fascio di piani generato da $ r $ riesco a ricavare quello parallelo ad $ s $ ponendo i coefficienti $ a,b,c $ del piano uguali ai coefficienti direttivi di $ s $ e lo chiamo $ pi $, poi posso dal fascio di piani generato dalla retta $ s $ trovare quello ortogonale a $ pi $ e chiamarlo $ pi' $
a questo punto posso intersecare $ pi' $ con la retta $ r $ e ricavare un punto $ D $
ora faccio la proiezione ortogonale di $ D $ su $ s $ e trovo un punto $ D' $
quindi faccio la distanza tra i due vettori in modo classico...
potrebbe avere senso?? o come credo mi sono complicato la vita??
"geomematica":
cioè come consiglia Alxxx28 dal fascio di piani generato da $ r $ riesco a ricavare quello parallelo ad $ s $ ponendo i coefficienti $ a,b,c $ del piano uguali ai coefficienti direttivi di $ s $
Per 'coefficienti direttivi' intendi i parametri direttori esatto?
Comunque facendo così, secondo te come sarà il vettore di direzione di [tex]s[/tex] rispetto al vettore normale al piano?
sisi intendo quelli
alla tua domanda non so rispondere ma se noti la mia precedente l'ho un po' cambiata, prova a vedere se la seconda parte che ho modificato può avere senso!...
alla tua domanda non so rispondere ma se noti la mia precedente l'ho un po' cambiata, prova a vedere se la seconda parte che ho modificato può avere senso!...
Sono troppi passaggi, è più veloce il metodo che ti stavo suggerendo.
Ragiona sulla domanda che ti ho fatto prima comunque, per capire l' errore.
Supponiamo che il piano generico (del fascio d' asse [tex]r[/tex]) sia [tex]\pi = ax+by+cz+d=0[/tex],
se sostituisci [tex]a[/tex],[tex]b[/tex],[tex]c[/tex] con i parametri direttori di [tex]s[/tex] hai due vettori uguali, quindi?
Ragiona sulla domanda che ti ho fatto prima comunque, per capire l' errore.
Supponiamo che il piano generico (del fascio d' asse [tex]r[/tex]) sia [tex]\pi = ax+by+cz+d=0[/tex],
se sostituisci [tex]a[/tex],[tex]b[/tex],[tex]c[/tex] con i parametri direttori di [tex]s[/tex] hai due vettori uguali, quindi?
non ci riesco, mi sono perso ....innanzitutto come lo conosco il vettore normale del piano? e poi quali sarebbero i due vettori uguali??
....innanzitutto come lo conosco il vettore normale del piano? e poi quali sarebbero i due vettori uguali??
ho capito che la normale del piano $ (a,b,c) $ è uguale al vettore di direzione di $ s $ che è $ (l,m,n) $ perchè ho fatto in modo che risulti tale.
ora dovrebbe (il piano) essere perpendicolare alla retta...xò sto facendo confusione xkè mi sembrava di aver studiato che ponendo uguali i parametri direttori con $ a,b,c $ risultasse il piano parallelo alla retta
ora dovrebbe (il piano) essere perpendicolare alla retta...xò sto facendo confusione xkè mi sembrava di aver studiato che ponendo uguali i parametri direttori con $ a,b,c $ risultasse il piano parallelo alla retta
Infatti la retta è perpendicolare al piano in questo caso, forse hai fatto confusione tra vettore normale e direzione del piano, che sono due cose distinte.
ma il vettore normale è la direzione del piano cioè quel vettore che esce dalla superficie perpendicolarmente o no??
.....se il piano ha direzione come la retta $ s $ non può essere del fascio di piani generato da $ r $, non ha senso logico, altrimenti le rette sarebbero perpendicolari tra loro..
sto facendo molta confusione...è più difficile del previsto..
.....se il piano ha direzione come la retta $ s $ non può essere del fascio di piani generato da $ r $, non ha senso logico, altrimenti le rette sarebbero perpendicolari tra loro..
sto facendo molta confusione...è più difficile del previsto..
Si è il vettore che 'esce' perpendicolarmente dalla superficie del piano, ma non rappresenta la direzione del piano.
La direzione del piano consiste di due vettori linearmente indipendenti.
Ad esemipio se consideri il piano [tex]Z=0[/tex] nello spazio [tex]E^3[/tex], una base per la sua giacitura può essere [tex]$\{ (1,0,0),(0,1,0) \}$[/tex]
Questi sono due vettori che possono rappresentare la direzione del piano.
La direzione del piano consiste di due vettori linearmente indipendenti.
Ad esemipio se consideri il piano [tex]Z=0[/tex] nello spazio [tex]E^3[/tex], una base per la sua giacitura può essere [tex]$\{ (1,0,0),(0,1,0) \}$[/tex]
Questi sono due vettori che possono rappresentare la direzione del piano.
mi è venuta una idea...se io prendo una retta ad esempio $ r $ e trovo lo spazio delle soluzioni del suo complemento ortogonale che sarà un vettore ortogonale alla retta del tipo $ (l,m,n) $ a questo punto trovo il fascio di piani generati da $ s $ e pongo i parametri direttori di questo piano uguali a $ (l,m,n) $
ora se la logica non sbaglia dovrei avere un piano parallelo ad $ r $, quindi mi basta trovare un piano parallelo a questo appena trovato ponendo il prodotto dei coefficienti direttori = 0 (del tipo
$ a*a'+b*b'+c*c' =0$, condizione di parallelismo tra piani) e passante per il vettore $(l,m,n)$ poi intersecarlo con la retta $ s $ e trovare un secondo vettore del tipo $ (l',m',n') $ e in fine fare la differenza della norma dei due vettori
...che ne dici?
ora se la logica non sbaglia dovrei avere un piano parallelo ad $ r $, quindi mi basta trovare un piano parallelo a questo appena trovato ponendo il prodotto dei coefficienti direttori = 0 (del tipo
$ a*a'+b*b'+c*c' =0$, condizione di parallelismo tra piani) e passante per il vettore $(l,m,n)$ poi intersecarlo con la retta $ s $ e trovare un secondo vettore del tipo $ (l',m',n') $ e in fine fare la differenza della norma dei due vettori
...che ne dici?
Mi spiace ma non conosco il concetto di complemento algebrico, quindi non posso dirti se va bene il tuo ragionamento
edit: mi è venuto un flash, il complemento algebrico equivale al cofattore, ma in questo caso non vedo in che modo può essere utile
edit: mi è venuto un flash, il complemento algebrico equivale al cofattore, ma in questo caso non vedo in che modo può essere utile
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