Distanza tra due punti su una cartina geografica
Salve,
avrei il seguente dubbio, ovvero parlando del piano euclideo ci sono varie formule per calcolare ad esempio la distanza tra due punti, o la retta passante tra due punti o ancora la distanza tra un punto da una retta.
Io nella fattispecie ho trovato queste formule:
http://www.ripmat.it/mate/d/dc/dceh.html
http://www.ripmat.it/mate/d/dc/dcee.html
http://www.ripmat.it/mate/d/dc/dcc.html
Ora mi domandavo se parlo di punti su una mappa UTM, che da quel poco che ho capito dalla mia scarsa esperienza nel campo è una proiezione su un piano della terra (o di una parte di essa), posso applicare le formule sopra citate ? Ovvero posso semplicemente dire che in quelle formule un punto ha come coordinate delle ascisse e ordinate direttamente latitudine e longitudine (espresse in decimale) e poi applicare le formule di cui sopra?
So che se parlassimo di distanze di due punti sulla terra lavorando su una sfera le formule sarebbero altre, ma se le mappe UTM sono una proiezione sul piano non dovrei poterci lavorare tranquillamente con le formule canoniche?
Mi è stato assegnato di lavorare con la norma euclidea, quindi immagino che semplicemente posso applicare le formule di sopra?
Se sto dicendo inesattezze perfavore fatemelo notare, spero solo di aver trovato la sezione giusta del forum.
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
avrei il seguente dubbio, ovvero parlando del piano euclideo ci sono varie formule per calcolare ad esempio la distanza tra due punti, o la retta passante tra due punti o ancora la distanza tra un punto da una retta.
Io nella fattispecie ho trovato queste formule:
http://www.ripmat.it/mate/d/dc/dceh.html
http://www.ripmat.it/mate/d/dc/dcee.html
http://www.ripmat.it/mate/d/dc/dcc.html
Ora mi domandavo se parlo di punti su una mappa UTM, che da quel poco che ho capito dalla mia scarsa esperienza nel campo è una proiezione su un piano della terra (o di una parte di essa), posso applicare le formule sopra citate ? Ovvero posso semplicemente dire che in quelle formule un punto ha come coordinate delle ascisse e ordinate direttamente latitudine e longitudine (espresse in decimale) e poi applicare le formule di cui sopra?
So che se parlassimo di distanze di due punti sulla terra lavorando su una sfera le formule sarebbero altre, ma se le mappe UTM sono una proiezione sul piano non dovrei poterci lavorare tranquillamente con le formule canoniche?
Mi è stato assegnato di lavorare con la norma euclidea, quindi immagino che semplicemente posso applicare le formule di sopra?
Se sto dicendo inesattezze perfavore fatemelo notare, spero solo di aver trovato la sezione giusta del forum.
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
Risposte
Che cosa è una mappa UTM?
Sono un po' ignorante, vorrei capire...
Quando si cerca di rappresentare una superficie sferica su un piano si commettono per forza degli errori, i vari tipi di cartografia rispondono a diversi criteri, ci sono le carte che mantengono inalterate le aree a costo di deformare i contorni, oppure ci sono quelle che mantengono inalterate le distanze lineari...
Mi racconti qualche cosa di più?
Sono un po' ignorante, vorrei capire...
Quando si cerca di rappresentare una superficie sferica su un piano si commettono per forza degli errori, i vari tipi di cartografia rispondono a diversi criteri, ci sono le carte che mantengono inalterate le aree a costo di deformare i contorni, oppure ci sono quelle che mantengono inalterate le distanze lineari...
Mi racconti qualche cosa di più?
Devo sfruttare mappe tipo questa per la ricostruzione di rotte navali:
http://www.marinetraffic.com/ais/it/def ... level1=140
Se noti si basa sulle cartografia di Google Maps.
Detto in poche parole io devo prendere due punti A e B su quella mappa e poterne tracciare la rettà che gli unisce, perché poi devo poter calcolare la distanza da un punto generico C a quella retta, oltre che la distanza tra A e B.
Ora mi è stato detto di usare per la distanza la norma euclidea e volevo capire se prendo le coordinate di latitudine e longitudine in decimale da quella mappa (se guardi la mappa in basso oltre che la notazione in sessagesimali ce anche quella in esadecimale) posso applicare direttamente la formula della norma euclidea per la distanza? E a questo punto posso applicare anche le altre formule sopra elencate?
Edi: Per UTM mi riferivo al sistema di coordinate, che solitamente è il più comune che viene utilizzato, ovvero questo:
http://escursioni.altervista.org/artico ... te_utm.php
http://www.marinetraffic.com/ais/it/def ... level1=140
Se noti si basa sulle cartografia di Google Maps.
Detto in poche parole io devo prendere due punti A e B su quella mappa e poterne tracciare la rettà che gli unisce, perché poi devo poter calcolare la distanza da un punto generico C a quella retta, oltre che la distanza tra A e B.
Ora mi è stato detto di usare per la distanza la norma euclidea e volevo capire se prendo le coordinate di latitudine e longitudine in decimale da quella mappa (se guardi la mappa in basso oltre che la notazione in sessagesimali ce anche quella in esadecimale) posso applicare direttamente la formula della norma euclidea per la distanza? E a questo punto posso applicare anche le altre formule sopra elencate?
Edi: Per UTM mi riferivo al sistema di coordinate, che solitamente è il più comune che viene utilizzato, ovvero questo:
http://escursioni.altervista.org/artico ... te_utm.php
Dunque sono ritornato a parlare con la professoressa (è un progetto universitario) ed ho chiarito un po' di dubbi, ora so, o almeno credo di sapere, cosa devo cercare.
Partiamo dal presupposto che stiamo parlando di approssimazioni però.
Dunque ci ha fornito già delle mappe in forma "numerico" ovvero come insieme di longitudine e latitudine (eventualmente anche altitudine).
Le celle di questa mappa hanno un certo grado di precisione, noi nei nodi del nostro grafo probabilmente rappresenteremo più celle di questa mappa e fin qui tutto ok.
1) Ora lei ci ha proposto di memorizzare per ogni cella latitudine, longitudine ed altezza e poi approssimarci la distanza mediante la formula della norma euclidea applicata a latitudine, longitudine ed altezza.
Sarà un approssimazione molto larga ma se l'ha detto lei..
2) Ha anche detto che per tracciarci una retta (che poi in realtà è l'approssimazione di un arco) possiamo semplicemente tracciare una normale retta euclidea che passa per A e B in cui o ignoriamo proprio l'altitudine o se andiamo da A verso B diamo l'altitudine di B.
3) Per calcolare quanto una cella che stiamo attraversando è "distante" da questa retta (a noi più che la distanza ci interessa di procedere nella direzione di quella retta) ci ha proposto la formula per calcolare l'angolo che si viene a creare tra un punto e tale retta. Che è un'altra formula che devo capire e credo che sia una normale formula della trigonometria
Questo è il suo approccio. Abbiamo trovato un'altro approccio per calcolare la distanza, un sito ci proponeva questa cosa:
A questo punto per me sarebbe più facile rappresentare la mappa perché ci basta usare longitudine e latitudine e non ci serve più utilizzare l'altezza.
Però, come fare poi a tracciarci un arco tra due punti e calcolarci poi la distanza tra un terzo punto e quell'arco ? Ovvure il punto 3) di prima ma calcolato con questo genere di formule?
La professoressa dopo averle indicato queste formule ci ha anche proposto, in caso la nostra rappresentazione per il calcolo della distanza fosse più precisa (come fare a saperlo? mbho!) di utilizzare la norma euclidea per la distanza, ma anche la formula per tracciare una linea su un piano euclideo sfruttando però per la distanza la nostra formula.
Qui però mi sono un po' perso. Cioè le formule per tracciare una linea tra due punti, o calcolarci l'angolo tra un punto ed una retta sfruttano un valore di distanza che possiamo sostituire con quello calcolato da questa formula? (da quello che ho capito si? come fare?
Credo che messa in questi termini il problema diventi puramente matematico, o meglio geometrico, perché stiamo lavorando sul piano euclideo e quindi possiamo eliminare tutte le possibili problematiche di dover lavorare su una mappa geodetica. Però devo riuscire un po' a capire quali sono queste formule e capire come applicarle.
Ovviamente passerò i prossimi giorni a cercarle ma qualche consiglio è sempre ben accetto.
Partiamo dal presupposto che stiamo parlando di approssimazioni però.
Dunque ci ha fornito già delle mappe in forma "numerico" ovvero come insieme di longitudine e latitudine (eventualmente anche altitudine).
Le celle di questa mappa hanno un certo grado di precisione, noi nei nodi del nostro grafo probabilmente rappresenteremo più celle di questa mappa e fin qui tutto ok.
1) Ora lei ci ha proposto di memorizzare per ogni cella latitudine, longitudine ed altezza e poi approssimarci la distanza mediante la formula della norma euclidea applicata a latitudine, longitudine ed altezza.
Sarà un approssimazione molto larga ma se l'ha detto lei..
2) Ha anche detto che per tracciarci una retta (che poi in realtà è l'approssimazione di un arco) possiamo semplicemente tracciare una normale retta euclidea che passa per A e B in cui o ignoriamo proprio l'altitudine o se andiamo da A verso B diamo l'altitudine di B.
3) Per calcolare quanto una cella che stiamo attraversando è "distante" da questa retta (a noi più che la distanza ci interessa di procedere nella direzione di quella retta) ci ha proposto la formula per calcolare l'angolo che si viene a creare tra un punto e tale retta. Che è un'altra formula che devo capire e credo che sia una normale formula della trigonometria
Questo è il suo approccio. Abbiamo trovato un'altro approccio per calcolare la distanza, un sito ci proponeva questa cosa:
Se rapresentiamo il comune A con la coppia (a1,b1) in cui a1 è la longitudine e b1 è la latitudine ed il comune B con la coppia (a2,b2) (con significato analogo di a2 e b2), la distanza tra A e B è data dalla formula: d(A,B) = arccos(cos(a1-a2)cos(b1)cos(b2)+sin(b1)sin(b2)) che fornisce la distanza in radianti, o raggi terrestri. A questo punto basta moltiplicare d(A,B) x 6360 per ottenere la distanza in km.
A questo punto per me sarebbe più facile rappresentare la mappa perché ci basta usare longitudine e latitudine e non ci serve più utilizzare l'altezza.
Però, come fare poi a tracciarci un arco tra due punti e calcolarci poi la distanza tra un terzo punto e quell'arco ? Ovvure il punto 3) di prima ma calcolato con questo genere di formule?
La professoressa dopo averle indicato queste formule ci ha anche proposto, in caso la nostra rappresentazione per il calcolo della distanza fosse più precisa (come fare a saperlo? mbho!) di utilizzare la norma euclidea per la distanza, ma anche la formula per tracciare una linea su un piano euclideo sfruttando però per la distanza la nostra formula.
Qui però mi sono un po' perso. Cioè le formule per tracciare una linea tra due punti, o calcolarci l'angolo tra un punto ed una retta sfruttano un valore di distanza che possiamo sostituire con quello calcolato da questa formula? (da quello che ho capito si? come fare?
Credo che messa in questi termini il problema diventi puramente matematico, o meglio geometrico, perché stiamo lavorando sul piano euclideo e quindi possiamo eliminare tutte le possibili problematiche di dover lavorare su una mappa geodetica. Però devo riuscire un po' a capire quali sono queste formule e capire come applicarle.
Ovviamente passerò i prossimi giorni a cercarle ma qualche consiglio è sempre ben accetto.
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