Distanza tra due punti nello spazio
qualcuno sa quale diamine è la formula della distanza tra due punti nello spazio??
grazie, ubermensch
grazie, ubermensch
Risposte
ma che domande fai??? la so pure io!!!
dist^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2
la puoi verificare facilmente disegnando un parallelepipedo su un sistema di assi x,y,z e vedrai che per trovare la lunghezza della diagonale dovrai usare questa formula, che altro non è che la "doppia" applicazione del teorema di Pitagora..[:)]
ciaooo
dist^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2
la puoi verificare facilmente disegnando un parallelepipedo su un sistema di assi x,y,z e vedrai che per trovare la lunghezza della diagonale dovrai usare questa formula, che altro non è che la "doppia" applicazione del teorema di Pitagora..[:)]
ciaooo
Te la do' pure in n dimensioni, anche se mi stupisco che uno che parla di proiezione stereografica, non la conosca.
d(P_1,P_2)=\sqrt((x_1-y_2)^2+...+(x_n-y_n)^2), dove P_1 ha le coordinate x e P_2 ha le coordinate y.
Luca.
d(P_1,P_2)=\sqrt((x_1-y_2)^2+...+(x_n-y_n)^2), dove P_1 ha le coordinate x e P_2 ha le coordinate y.
Luca.
forse non ne sono all'altezza...ma non capisco proprio la tua formula...e le z che fine hanno fatto? e le altre dimensioni? è tutto ridotto ad x e y??
inoltre dici:
..=sqrt((x_1-y_2)^2+...+(x_n-y_n)^2)...sebbene non abbia capito perchè...ma in ogni caso non dovrebbe essere (vista la tua precedente scrittura) +...+(x_n-y_(n+1))^2)??
ciao a presto
il vecchio
inoltre dici:
..=sqrt((x_1-y_2)^2+...+(x_n-y_n)^2)...sebbene non abbia capito perchè...ma in ogni caso non dovrebbe essere (vista la tua precedente scrittura) +...+(x_n-y_(n+1))^2)??
ciao a presto
il vecchio
Si, ti ringrazio, ho solo sbagliato il primo addendo: x_1-y_1 e' la versione corretta, tutto al quadrato chiaramente. Ti ricordo che per me P_1=(x_1,...,x_n) e P_2=(y_1,...,y_n).
Luca.
Luca.
ah ok ok!! per cui la tua x_3 ad esempio è la mia z1!! ok ok..è tutto chiaro! grazie
ciao
il vecchio
ciao
il vecchio
Vecchio, Zenone diceva che la distanza tra due punti nello spazio è infinita e se è infinita non si può misurare.
E' interessante notare che se per "spazio" si intende un insieme qualunque, su di esso si possono definire diversi "tipi" di distanza.
Importantissimi sono i casi degli spazi funzionali, i cui punti sono delle funzioni ...
Qui si apre uno dei capitoli più proficui ed affascinati della matematica !!!
Bye.
ps. in ogni caso :
d(x , y) = ||x - y||
cioè la distanza fra due punti è uguale alla norma della loro differenza.
Importantissimi sono i casi degli spazi funzionali, i cui punti sono delle funzioni ...
Qui si apre uno dei capitoli più proficui ed affascinati della matematica !!!
Bye.
ps. in ogni caso :
d(x , y) = ||x - y||
cioè la distanza fra due punti è uguale alla norma della loro differenza.
Forse in ogni caso no... ci sono spazi metrici che non possono essere normati, ovvero la metrica data non proviene da una norma; infatti, per dar senso alla norma, lo spazio base deve essere almeno vettoriale.
Luca.
Luca.
Giustissimo, Luca !!
Uno spazio vettoriale normato è di conseguenza uno spazio metrico con la metrica :
d(x , y) = ||x - y|| .
Uno spazio metrico non è detto che sia uno spazio vettoriale normato.
Per esempio lo "spazio metrico disceto" con la metrica :
d(x , y) = 1 , per ogni x diverso da y
e
d(x , y) = 0 , per ogni x uguale a y
(x ed y sono elementi di un insieme qualunque).
Bye.
ps. la metrica definita all'inizio (teorema di Pitagora) è detta metrica euclidea e lo spazio che ne è dotato si chiama "spazio euclideo".
Se i numeri che compongono le n-ple sono complessi, allora lo spazio con metrica euclidea che ne deriva si chiama anche "spazio unitario".
Uno spazio vettoriale normato è di conseguenza uno spazio metrico con la metrica :
d(x , y) = ||x - y|| .
Uno spazio metrico non è detto che sia uno spazio vettoriale normato.
Per esempio lo "spazio metrico disceto" con la metrica :
d(x , y) = 1 , per ogni x diverso da y
e
d(x , y) = 0 , per ogni x uguale a y
(x ed y sono elementi di un insieme qualunque).
Bye.
ps. la metrica definita all'inizio (teorema di Pitagora) è detta metrica euclidea e lo spazio che ne è dotato si chiama "spazio euclideo".
Se i numeri che compongono le n-ple sono complessi, allora lo spazio con metrica euclidea che ne deriva si chiama anche "spazio unitario".
Esattamente: fra l'altro, dato che ci siamo, possiamo (perche' no?) anche ricordare che uno spazio topologico non e' detto nemmeno che sia metrizzabile... basta prendere gli spazi funzionale che ricordavi tu prima, e mettergli la topologia debole.
Ciao, Luca.
Ciao, Luca.
grazie a tutti... scusate l'ignoranza.. ma ancora non ho mai studiato la geometria nello spazio
p.s.
l'equazione della sfera l'ho cercata con google!!!
p.s.
l'equazione della sfera l'ho cercata con google!!!
Giusto per divertirci un po' ed imparare a "staccarci" dai "luoghi comununi" appresi a scuola (ed a volare con la fantasia), proporrei alcuni esempi di spazi metrici funzionali.
Fra questi sono molto interessanti gli spazi metrici che si possono creare con le funzioni numeriche reali continue su [a,b].
Chiamiamo con C[a,b] l'insieme di tali funzioni.
Una metrica può essere definta da :
d(x , y) = sup |x(t) - y(t)|
dove x e y sono due funzioni di C[a,b] e t appartiene a [a,b].
Graficamente :
Questo spazio è anche uno spazio vettoriale con norma :
||x|| = sup |x(t)| .
Un'altra metrica sullo stesso spazio è :
d(x , y) = integrale su [a,b] di (|x(t) - y(t)|
cioè l'area :
Con uno stesso insieme (spazio) si possono allora definire diverse metriche !!! e le proprietà degli elementi dello spazio (punti) dipendono dal tipo di metrica, non sono quindi proprietà assolute !!!
Ciò è, secondo me, l' "anima" della matematica moderna.
Bye.
Fra questi sono molto interessanti gli spazi metrici che si possono creare con le funzioni numeriche reali continue su [a,b].
Chiamiamo con C[a,b] l'insieme di tali funzioni.
Una metrica può essere definta da :
d(x , y) = sup |x(t) - y(t)|
dove x e y sono due funzioni di C[a,b] e t appartiene a [a,b].
Graficamente :
Questo spazio è anche uno spazio vettoriale con norma :
||x|| = sup |x(t)| .
Un'altra metrica sullo stesso spazio è :
d(x , y) = integrale su [a,b] di (|x(t) - y(t)|
cioè l'area :
Con uno stesso insieme (spazio) si possono allora definire diverse metriche !!! e le proprietà degli elementi dello spazio (punti) dipendono dal tipo di metrica, non sono quindi proprietà assolute !!!
Ciò è, secondo me, l' "anima" della matematica moderna.
Bye.
Esposizione magistrale. Solo una precisazione (altrimenti non avrei niente da dire!), per i piu' sottili: nel secondo esempio d(x,y)=0 non implica x=y identicamente, come richiesto invece dalla definizione di distanza.
Occorre quindi quozientare lo spazio rispetto all'uguaglianza quasi ovunque delle funzioni.
Luca.
P.S. Mi fa molto piacere poter discutere con qualcuno di cose di questo livello.
Occorre quindi quozientare lo spazio rispetto all'uguaglianza quasi ovunque delle funzioni.
Luca.
P.S. Mi fa molto piacere poter discutere con qualcuno di cose di questo livello.
Trattandosi di funzioni continue, pensavo che in questo caso valesse :
d(x , y) = 0 <==> x = y .
Mi sono accorto che non ho scritto bene la seconda metrica (scrivere al computer è per me sempre problematico ...). La riscrivo :
d(x , y) = integrale su [a,b] di (|x(t) - y(t)|)dt .
Sì, Luca, questi argomenti sono troppo belli !!! Pensa che quando a suo tempo ho capito (purtroppo solo all'università) che la matematica è "stupenda, ardita e fantasiosa costruzione di strutture logiche" dove non conta il "tipo" di elementi di cui esse sono composte ma le proprietà a cui obbediscono, per me fu come una vera e propria "rivoluzione copernicana".
E che dire poi dell'analisi funzionale applicata alla meccanica quantistica !!! Tutto si riassume nel fatto che la funzione d'onda è un vettore dello spazio di Hilbert delle funzioni a quadrato sommabile L^2. Che mirabile sintesi !!! In questa semplice affermazione c'è una enorme quantità di informazione !!! Ed in essa, tramite gli opertori lineari corrispondenti alle varie grandezze osservabili, sono riassunte le proprietà fisiche del sistema.
Nell'altro versante, c'è la geometria differenziale con lo stupendo spazio di Riemann e relativi tensori che fornisce la struttura matematica della relatività generale.
Il tutto "tenuto assieme" dalla topologia ...
E' bellissimo parlare di queste cose e farle conoscere a tutti perchè esse sono la vera anima della matematica, che non è quindi solo noioso "far di conto" ...
Bye.
d(x , y) = 0 <==> x = y .
Mi sono accorto che non ho scritto bene la seconda metrica (scrivere al computer è per me sempre problematico ...). La riscrivo :
d(x , y) = integrale su [a,b] di (|x(t) - y(t)|)dt .
Sì, Luca, questi argomenti sono troppo belli !!! Pensa che quando a suo tempo ho capito (purtroppo solo all'università) che la matematica è "stupenda, ardita e fantasiosa costruzione di strutture logiche" dove non conta il "tipo" di elementi di cui esse sono composte ma le proprietà a cui obbediscono, per me fu come una vera e propria "rivoluzione copernicana".
E che dire poi dell'analisi funzionale applicata alla meccanica quantistica !!! Tutto si riassume nel fatto che la funzione d'onda è un vettore dello spazio di Hilbert delle funzioni a quadrato sommabile L^2. Che mirabile sintesi !!! In questa semplice affermazione c'è una enorme quantità di informazione !!! Ed in essa, tramite gli opertori lineari corrispondenti alle varie grandezze osservabili, sono riassunte le proprietà fisiche del sistema.
Nell'altro versante, c'è la geometria differenziale con lo stupendo spazio di Riemann e relativi tensori che fornisce la struttura matematica della relatività generale.
Il tutto "tenuto assieme" dalla topologia ...
E' bellissimo parlare di queste cose e farle conoscere a tutti perchè esse sono la vera anima della matematica, che non è quindi solo noioso "far di conto" ...
Bye.
Be si', effettivamente se parti gia' dalle funzioni continue, e' vero.
Io ero lanciato in L^1, visto che e' la norma naturale che uno da' in questo spazio...
Mi hai fatto venire in mente un bell'esercizio, che lascio da un altra parte.
Ciao, Luca.
Io ero lanciato in L^1, visto che e' la norma naturale che uno da' in questo spazio...
Mi hai fatto venire in mente un bell'esercizio, che lascio da un altra parte.
Ciao, Luca.
è bello sentirsi così ignoranti!! [:)]
vuol dire che c'è ancora molto da imparare!! vorrei però conoscervi e magari avervi di fronte ad una lavagna mentre prendo appunti!! ma chissà...magari all'uni troverò qualcuno alla vostra altezza..
per ora rimango nei miei bassifondi!! [;)]
vuol dire che c'è ancora molto da imparare!! vorrei però conoscervi e magari avervi di fronte ad una lavagna mentre prendo appunti!! ma chissà...magari all'uni troverò qualcuno alla vostra altezza..
per ora rimango nei miei bassifondi!! [;)]
Per Vecchio.
Dal tuo ultimo post deduco che hai optato per
una facolta' scientifica.Ritorno all'antico e,
al posto dell'ormai logoro "in bocca al lupo",
ti faccio auguri sinceri.
Non ti far impressionare troppo da Luca77 a da
Arriama:loro volano alto ma ci si puo'arrivare
se si ha coraggio e determinazione.
karl.
Dal tuo ultimo post deduco che hai optato per
una facolta' scientifica.Ritorno all'antico e,
al posto dell'ormai logoro "in bocca al lupo",
ti faccio auguri sinceri.
Non ti far impressionare troppo da Luca77 a da
Arriama:loro volano alto ma ci si puo'arrivare
se si ha coraggio e determinazione.
karl.
Icaroooo!!!!!!!:-)
bè...che dire..intanto grazie...e poi una domanda: c'era qualche dubbio sul fatto che io prendessi una facoltà scientifica??[:)]
il dramma era (è?) tra matematica o fisica...per ora l'ago della bilancia pende verso fisica, ma spero che mi permetterà di affrontare in maniera + che degna anche matematica!!
nella mia scarsa esperienza ho notato infatti che un bravo fisico sa anche la matematica (in quanto condizione necessaria per la fisica) mentre non sempre un matematico sa bene la fisica..o quanto meno rimane astratta (la fisica non è C.N. per un matematico) per cui vorrei poter approfondire entrambe le materie a cui sono sempre stato legato!! anche se il mio più grande prof di fisica mai avuto era laureato in matematica!![:p]
cmq il compromesso che ho raggiunto è questo...ma c'è ancora tempo..qualora io non intraprenda dopo il triennio, la "carriera" di insegnante, prenderò fisica teorica...dove mi è stato detto (da un fisica teorico!!) che c'è mooooooolta matematica...quindi..come si dice.."due piccioni con una fava"!![;)]
cmq a parte scherzi...si vedrà...per ora è fisica!
il dramma era (è?) tra matematica o fisica...per ora l'ago della bilancia pende verso fisica, ma spero che mi permetterà di affrontare in maniera + che degna anche matematica!!
nella mia scarsa esperienza ho notato infatti che un bravo fisico sa anche la matematica (in quanto condizione necessaria per la fisica) mentre non sempre un matematico sa bene la fisica..o quanto meno rimane astratta (la fisica non è C.N. per un matematico) per cui vorrei poter approfondire entrambe le materie a cui sono sempre stato legato!! anche se il mio più grande prof di fisica mai avuto era laureato in matematica!![:p]
cmq il compromesso che ho raggiunto è questo...ma c'è ancora tempo..qualora io non intraprenda dopo il triennio, la "carriera" di insegnante, prenderò fisica teorica...dove mi è stato detto (da un fisica teorico!!) che c'è mooooooolta matematica...quindi..come si dice.."due piccioni con una fava"!![;)]
cmq a parte scherzi...si vedrà...per ora è fisica!
Vecchio, com'è finita poi la tua battaglia con la relatività?
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo