Distanza tra due funzioni con norma...

[Clauc87]

Ciao a tutti!

Sto iniziando un corso di calcolo e tra gli esercizi di base ci sono alcune sulle norme. Purtroppo però a lezione non ho capito quasi nulla... E adesso mi sto cimentando su un esercizio che non mi torna e di cui forse non ho capito proprio la teoria...
Immagino che sarà banalissimo... E mi scuso per l'ignoranza

Considera le due funzioni: y1(x)=3x e y2(x)=4x^2 definite nell'intervallo [0,4], qual è la loro distanza se si considera come distanza quella associata alla norma di funzione: $ ||f|| = int_(a)^(b) |f(x)|^2 dx $

Ve ne sarei molto grata se qualcuno potesse spiegarmi i passaggi per la risoluzione e sopratutto la teoria che sottende il ragionamento e perché...

[ciampax]

In generale, data una norma $||\ ||:V\rightarrow RR$ su uno spazio vettoriale, essa induce la distanza $d(v,w)=||v-w||$. Pertanto, dal momento che $V=C^0([0,4])$ (lo spazio delle funzioni continue su tale intervallo) e
$$||f||=\int_a^b |f(x)|^2\ dx$$
se ne deduce che
$$d(3x,4x^2)=||3x-4x^2||=\int_0^4|(3x-4x^2)|^2\ dx$$
Ti lascio i calcoli.

[Camillo]

@Clauc87
Ciampax ha impostato l'esercizio fornendo anche le definizioni di norma e distanza .
Poiché non sono concetti immediati , per nulla banali -se applicati- come in questo caso alle funzioni , ti consiglio di approfondire l'argomento su un testo, degli appunti o chiedendo al prof.