Distanza su un riferimento cartesiano.

[turtle87crociato]

Perchè la distanza tra a e b ascisse di due punti di un riferimento cartesiano è |a-b|? Come si dimostra?

[dissonance]

Veramente questa domanda non è ben posta, secondo me. Sulla retta reale, quella che hai scritto è la definizione di distanza. Cioè noi diciamo: dati due numeri reali $a, b$, chiamiamo distanza tra $a$ e $b$ il numero reale $|a-b|$.
Detto questo, se invece della retta reale consideriamo un piano (euclideo), fissato un riferimento cartesiano possiamo definire la distanza tra i punti $p=(p_x, p_y)$, $q=(q_x, q_y)$ come $sqrt((p_x-q_x)^2+(p_y-q_y)^2)$. Quando tu hai parlato di "ascisse" sicuramente ti riferivi ai punti $(p_x,0), (q_x,0)$ (le proiezioni di $p$ e $q$ sull'asse $x$). Se adesso fai il conto, la distanza tra questi due ultimi punti è $sqrt((p_x-q_x)^2)=|p_x-q_x|$.

[turtle87crociato]

Ho sbagliato solo una cosa nella definizione: ho aggiunto, forse inconsciamente, come retaggio delle vecchie espressioni ripetute troppe e troppe volte, la parola "cartesiano". Mi riferivo in realtà alla distanza tra due punti a e b appartenenti ad un sistema di riferimento costituito da una qualunque retta r.

[pic2]

Sì ma non c'è un modo canonico di definire la distanza.
Essa non è altro che una funzione che prende una coppia di punti e la manda nei reali nonnegativi rispettando certe proprietà. La funzione f: (a,b)--> |a-b| rispetta quelle proprietà, e quindi è una distanza. E' famosa, e si chiama distanza euclidea.

[turtle87crociato]

Ciao pic, avatar molto bello! Mi so fatto due risate, pensando al piacevole delirio verso cui la matematica manda i veri matematici.

Chiedo: come hanno fatto i matematici ad accorgersi dell'esistenza di questa corrispondenza tra la coppia (a, b) e la distanza? Ci sarà stato qualche procedimento razionale che abbia verificato che essa sia per tutti i casi, ossia per tutti i valori reali di a e b?

[dissonance]

Questa è una domanda a cui puoi provare a rispondere da solo.
Come stava accennando pic, quello di distanza non è un concetto primitivo, bisogna darne una definizione, e si può fare in tanti modi diversi. Senza entrare nel merito di questo discorso avanzato, assumiamo che effettivamente la funzione $(a, b)\mapsto|a-b|$ sia una distanza.
Come è venuto in mente di definirla così? Prova a disegnare una retta, fissa un punto che chiami zero, e pensa alle due semirette ottenute come ai numeri reali positivi e negativi. Adesso disegna due numeri positivi $a$, $b$, $a

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[G.D.5]

La corrispondenza non esiste a priori, si crea: da un punto di vista matematico, la distanza altro non è che una applicazione $d$ (o funzione) tra il prodotto cartesiano di un qualsivoglia insieme $X$ e l'insieme dei reali $RR$ (i.e. $d : X \times X to RR$), tale da rispettare i seguenti quattro punti:
1) $d(x,y)>=0, \forall (x,y) \in X \times X$
2) $d(x,y)=0 <=> x=y$
3) $d(x,y)=d(y,x)$
4) $d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)$ (questa è detta anche disuguaglianza triangolare)

Come spesso accade, ciò che in matematica è pura astrazione (fin quì si è parlato di applicazioni, non di alberi in mezzo alla strada) modella in modo più o meno perfetto la realtà, ed ecco che, ponendo $d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}|x_i - y_i|^{2}}$ in uno spazio $\mathbb{R}^{n}$ viene fuori, nel caso particolare di $n=2$ o $n=3$ quello che nella vita di tutti i giorni si computa col metro o con la squadretta.

[pic2]

Argh ormai non ho più nulla da aggiungere, se non che gli insiemi X su cui viene definita la distanza d (anzi meglio, le coppie (X,d)) sono detti spazi metrici. A che servono? Beh, laddove esiste la distanza, esisterà il concetto di intorno, e dunque il concetto di limite, e di funzioni continue. Quindi si possono fare un po' di belle cose.

[turtle87crociato]

Per dissonance: potrei fare ricorso alla proprietà secondo cui Per ogni x, y reali |x-y|=|y-x|? Oppure essa è come se fosse derivata dalla tesi che voglio dimostrare, per via della biunivocità tra campo reale e punti di una retta su cui è fissato un sistema di riferimento? Penso comunque di poterla usare. Di conseguenza, avrei visto i nove casi che si presenterebbero (undici in realtà), considerando anche i casi in cui a e b acquistano valori nulli. E pare che sia riuscito a dimostrarmi la cosa, usando la proprietà che ho detto sopra.

Ovviamente chiedo lumi in merito.

[pic2]

Guarda, la proprietà che tu dici è banale: il valore assoluto di un reale x è x oppure -x, a seconda del segno (facendo in modo che |x| non sia mai negativo). Quindi due valori opposti hanno lo stesso valore assoluto.

[Raptorista1]

"turtle87":Perchè la distanza tra a e b ascisse di due punti di un riferimento cartesiano è |a-b|? Come si dimostra?

puoi provare a dimostrarlo come caso particolare della formula generica della distanza, per due punti con la stessa ordinata (se è quello che stai chiedendo, non si capisce bene dalla domanda) facendo i passaggi del teorema di pitagora applicato alle proiezioni (non so se si capisce, non è semplice senza il piano di fronte XD)

spero di esserti stato utile