Distanza Retta da Piano
Ragazzi Vorrei Una Conferma in merito alla risoluzione Del Seguente esercizio
Fissato Nello spazio affine euclideo [tex]E^3[/tex] un riferimento cartesiano ortonormale, siano [tex]\pi[/tex] il piano di equazione [tex]x+y=0[/tex] e [tex]l[/tex] la retta di equazioni:
[tex]\begin{displaymath}
\begin{cases}
x+y = 2 \\ y+z = 0
\end{cases}
\end{displaymath}[/tex]
Si provi che i punti di [tex]l[/tex] sono equidistanti da [tex]\pi[/tex] e determinare tale distanza.
Io Ho Proceduto come segue:
Ho Considerato un generico punto Della Retta che ho chiamato [tex]P(2 - \beta, \beta, -\beta)[/tex]
A Questo Punto Ho Determinato La Proiezione Ortogonale Di P sul Piano [tex]\pi[/tex], Calcolandomi La Retta Passante Per P e ortogonale al piano
e poi facendo l'intersezione con quest'ultimo
Ottengo che [tex]P^*[/tex] (proiezione ortogonale di P) ha coordinate: [tex]P^*(1-\beta,\beta-1,-\beta)[/tex]
Dopodiche Ho Calcolato [tex]PP^*(-1,-1,0)[/tex] che risulta quindi indipendente dal parametro [tex]\beta[/tex] e la distanza che ottengo e' [tex]\sqrt2[/tex]
E' Corretto?
Fissato Nello spazio affine euclideo [tex]E^3[/tex] un riferimento cartesiano ortonormale, siano [tex]\pi[/tex] il piano di equazione [tex]x+y=0[/tex] e [tex]l[/tex] la retta di equazioni:
[tex]\begin{displaymath}
\begin{cases}
x+y = 2 \\ y+z = 0
\end{cases}
\end{displaymath}[/tex]
Si provi che i punti di [tex]l[/tex] sono equidistanti da [tex]\pi[/tex] e determinare tale distanza.
Io Ho Proceduto come segue:
Ho Considerato un generico punto Della Retta che ho chiamato [tex]P(2 - \beta, \beta, -\beta)[/tex]
A Questo Punto Ho Determinato La Proiezione Ortogonale Di P sul Piano [tex]\pi[/tex], Calcolandomi La Retta Passante Per P e ortogonale al piano
e poi facendo l'intersezione con quest'ultimo
Ottengo che [tex]P^*[/tex] (proiezione ortogonale di P) ha coordinate: [tex]P^*(1-\beta,\beta-1,-\beta)[/tex]
Dopodiche Ho Calcolato [tex]PP^*(-1,-1,0)[/tex] che risulta quindi indipendente dal parametro [tex]\beta[/tex] e la distanza che ottengo e' [tex]\sqrt2[/tex]
E' Corretto?
Risposte
"M.C.D.":
Ragazzi Vorrei Una Conferma in merito alla risoluzione Del Seguente esercizio
Fissato Nello spazio affine euclideo [tex]E^3[/tex] un riferimento cartesiano ortonormale, siano [tex]\pi[/tex] il piano di equazione [tex]x+y=0[/tex] e [tex]l[/tex] la retta di equazioni:
[tex]\begin{displaymath}
\begin{cases}
x+y = 2 \\ y+z = 0
\end{cases}
\end{displaymath}[/tex]
Si provi che i punti di [tex]l[/tex] sono equidistanti da [tex]\pi[/tex] e determinare tale distanza.
Io Ho Proceduto come segue:
Ho Considerato un generico punto Della Retta che ho chiamato [tex]P(2 - \beta, \beta, -\beta)[/tex]
A Questo Punto Ho Determinato La Proiezione Ortogonale Di P sul Piano [tex]\pi[/tex], Calcolandomi La Retta Passante Per P e ortogonale al piano
e poi facendo l'intersezione con quest'ultimo
Ottengo che [tex]P^*[/tex] (proiezione ortogonale di P) ha coordinate: [tex]P^*(1-\beta,\beta-1,-\beta)[/tex]
Dopodiche Ho Calcolato [tex]PP^*(-1,-1,0)[/tex] che risulta quindi indipendente dal parametro [tex]\beta[/tex] e la distanza che ottengo e' [tex]\sqrt2[/tex]
E' Corretto?
Il procedimento è ok.
Però io risolverei l'esercizio osservando che la retta
[tex]r: \left\{ \begin{array}{l}
x+y = 2 \\ y+z = 0
\end{array} \right.[/tex]
giace sul piano [tex]x+y = 2[/tex], parallelo al piano [tex]\pi : x+y=0[/tex],
quindi la distanza retta-piano è data dalla distanza di un punto qualsiasi della retta
dal piano [tex]\pi[/tex].
In realtà non è nemmeno necessario prendere un punto qualsiasi delle retta r,
ma al suo posto basta considerare la distanza di un punto qualsiasi del piano [tex]x+y = 2[/tex]
(è il piano contenente [tex]r[/tex] e parallelo a [tex]\pi[/tex]).
ti consiglio un metodo per risolvere questo esercizio:
riscrivi la retta in forma parametrica :
$ r= {(x,y,z) in R^3 | x+y-2=z+y=0 } = {(2-y,y,-y)|y in R} = (2,0,0)+<(1,-1,1)> $ e ricordiamo il punto $P=(2,0,0)$
Ora, ricavi dall'equazione del piano il versore ortogonale ad esso in questo modo:
Tutti i vettori ortogonali a $pi$ giacciono sul sottospazio $O=<(1,1,0)>$ e il vettore della base ortonormale di $O$ risulta essere $u=(1/sqrt(2))*(1,1,0)$.
A questo punto prendiamo un qualsiasi punto di $pi$, ad esempio semplicemente $Q=(0,0,0)$ , e calcoliamo il vettore $v_d=P-Q = (2,0,0)$.
Ora semplicemente calcoliamo la proiezione ortogonale di $ v_d$ nella direzione di O, ovvero dello spazio ortogonale a $pi$ che risulta essere $v_o=(u*v_d)u = (1/sqrt(2) * (1,1,0)*(2,0,0))*1/sqrt(2)*(1,1,0) = (1,1,0)$
L'esercizio è risolto perchè la norma di $v_o$ , ovvero $||v_o||=sqrt(2)$ corrisponde alla distanza tra le due sottovarietà lineari...
riscrivi la retta in forma parametrica :
$ r= {(x,y,z) in R^3 | x+y-2=z+y=0 } = {(2-y,y,-y)|y in R} = (2,0,0)+<(1,-1,1)> $ e ricordiamo il punto $P=(2,0,0)$
Ora, ricavi dall'equazione del piano il versore ortogonale ad esso in questo modo:
Tutti i vettori ortogonali a $pi$ giacciono sul sottospazio $O=<(1,1,0)>$ e il vettore della base ortonormale di $O$ risulta essere $u=(1/sqrt(2))*(1,1,0)$.
A questo punto prendiamo un qualsiasi punto di $pi$, ad esempio semplicemente $Q=(0,0,0)$ , e calcoliamo il vettore $v_d=P-Q = (2,0,0)$.
Ora semplicemente calcoliamo la proiezione ortogonale di $ v_d$ nella direzione di O, ovvero dello spazio ortogonale a $pi$ che risulta essere $v_o=(u*v_d)u = (1/sqrt(2) * (1,1,0)*(2,0,0))*1/sqrt(2)*(1,1,0) = (1,1,0)$
L'esercizio è risolto perchè la norma di $v_o$ , ovvero $||v_o||=sqrt(2)$ corrisponde alla distanza tra le due sottovarietà lineari...
"matteotex":
ti consiglio un metodo per risolvere questo esercizio:
riscrivi la retta in forma parametrica :
$ r= {(x,y,z) in R^3 | x+y-2=z+y=0 } = {(2-y,y,-y)|y in R} = (2,0,0)+<(1,-1,1)> $ e ricordiamo il punto $P=(2,0,0)$
Ora, ricavi dall'equazione del piano il versore ortogonale ad esso in questo modo:
Tutti i vettori ortogonali a $pi$ giacciono sul sottospazio $O=<(1,1,0)>$ e il vettore della base ortonormale di $O$ risulta essere $u=(1/sqrt(2))*(1,1,0)$.
A questo punto prendiamo un qualsiasi punto di $pi$, ad esempio semplicemente $Q=(0,0,0)$ , e calcoliamo il vettore $v_d=P-Q = (2,0,0)$.
Ora semplicemente calcoliamo la proiezione ortogonale di $ v_d$ nella direzione di O, ovvero dello spazio ortogonale a $pi$ che risulta essere $v_o=(u*v_d)u = (1/sqrt(2) * (1,1,0)*(2,0,0))*1/sqrt(2)*(1,1,0) = (1,1,0)$
L'esercizio è risolto perchè la norma di $v_o$ , ovvero $||v_o||=sqrt(2)$ corrisponde alla distanza tra le due sottovarietà lineari...
La mia soluzione è un po' più semplice...
"franced":
La mia soluzione è un po' più semplice...
Hai avuto anche fortuna per la forma delle equazioni perchè quel metodo non lo puoi applicare in ogni caso...
"matteotex":
[quote="franced"]
La mia soluzione è un po' più semplice...
Hai avuto anche fortuna per la forma delle equazioni perchè quel metodo non lo puoi applicare in ogni caso...
[/quote]Se una retta r è parallela ad un piano p,
r giace su un piano p' parallelo a p.
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