Distanza punto retta e equazione piano

[Andre224]

L'esercizio è questo:
Nello spazio si ha il punto O=(0,0,0) e la retta r tra A=(1,2,1) e B=(2,1,2)
a) calcolo distanza di O da r
b) scrivo equazione piano passante per O e perpendicolare a r

il punto a non riesco a farlo (probabilmente è anche banale ma non riesco)
il punto b l'ho risolto così ma chiedo conferme:
r=(1,-1,1)
Eq. piano= x-y+z

[Quinzio]

"Andre22":L'esercizio è questo:
Nello spazio si ha il punto O=(0,0,0) e la retta r tra A=(1,2,1) e B=(2,1,2)
a) calcolo distanza di O da r
b) scrivo equazione piano passante per O e perpendicolare a r

il punto a non riesco a farlo (probabilmente è anche banale ma non riesco)
il punto b l'ho risolto così ma chiedo conferme:
r=(1,-1,1)
Eq. piano= x-y+z

D'accordo pero' l'equazione del piano va scritta correttamente
$ x-y+z=0 $
senza l'uguaglianza a zero non e' un piano.

Per trovare la distanza della retta da 0 scrivi l'equazione della retta cosi'
$ (x-1) = -(y-2) = (z-1) $

Queste 3 espressioni indicano come variano le 3 coordinate.
Se le scriviamo in forma parametrica
$ (x-1) = -(y-2) = (z-1) = t $
ovvero
$ { ( x = t+1 ),( y = -t +2 ),( z = t+1 ):} $

abbiamo le 3 coordinate in funzione di una parametro t
Se calcoliamo la distanza dal centro in funzione di t abbiamo che
$ d = sqrt((t+1)^(2)+(-t+2)^(2)+(t+1)^(2) ) $

Troviamo il suo minimo calcolando la derivata e trovando il valore per cui la derivata si annulla
$ d' = 6t / sqrt(3t^(2)+6 ) $

cioe' per
$ t = 0 $

Le coordinate x y z per t = 0
sono

$ { ( x = 1 ),( y =2 ),( z =1 ):} $

da cui la distanza e'
$ d = sqrt(6) $

[Andre224]

ok ma nell'equazione della retta $ (x-1)=-(y-2)=(z-1)=t $ perchè prendo i 3 valori del punto A e non del punto B? il meno davanti a y-2 è dovuto alla retta r giusto?

[Quinzio]

"Andre22":ok ma nell'equazione della retta $ (x-1)=-(y-2)=(z-1)=t $ perchè prendo i 3 valori del punto A e non del punto B?

Puoi prendere il punto B o qualunque punto sulla retta, il risultato finale cioe' la distanza sara' sempre quello.
Chiaro che A e' gia' il punto a distanza minima per cui semplifica i calcoli.

il meno davanti a y-2 è dovuto alla retta r giusto?

Si.
I coefficienti di x y z li trovi facendo la differenza tra le coordinate di A e B
xA - xB
yA - yB
zA - zB

[Andre224]

ok perfetto grazie!!