Distanza punto-retta

[Lory_91]

Salve a tutti! Stavo svolgendo il seguente esercizio di Geometria, quando mi sono accorta che qualcosa non tornava.
L'esercizio è il seguente:
Dato il punto $A=((3),(1),(2))$ e la retta $r:{(x= 6+ t),(y=2+2t),(z=-1-3t):}$. Trovare la distanza del punto $A$ da $r$.

Io ho proceduto così:
Devo trovare una retta passante per A che sia perpendicolare ed incidente alla retta data.La retta in questione è della forma $s: \vec OP= \vec OA + \vec OQ$.
Per semplcità chiamo $B=((6),(2),(-1)$ (termine noto della retta r) e $v_0=((1),(2),(-3))$ (vettore direttore della retta r).
Sia $v_1$ il vettore $A-B= ((-3),(-1),(3)$. Il vettore direttore della retta $s$ passante per A e perpendicolare ed incidente alla retta $r$ è dato da: $\vec OQ = v_1 - ()/() v_0 = ((-3), (-1),(3)) - (-14)/(-4) ((1),(2),(-3)) = ((-13/2),(-8),(-15/2))$.
Quindi, la retta $s$ è uguale a:
$s: ((x),(y),(z))=((3),(1),(2)) + t ((-13/2),(-8),(-15/2))$. Le due rette sono infatti perpendicolari in quanto $ =0$.
Il punto di incidenza si trova intersecando le due rette e quindi risolvendo il seguente sistema:
$ { ( 6 + t = 3 - 13/2 t' ),( 2 + 2 t = 1 - 8 t' ),( -1 -3t = 2 - 15/2 t' ):} $
da cui ricavo:
$ { ( t = 7/2 ),( t' = -1 ),( 45 = 0 ):} $
e non ci sono, dunque, soluzioni che soddisfano il sistema.
A questo punto mi sono bloccata perché, nonostante abbia rifatto più volte l'esercizio, non riesco a trovare l'errore.
Se il sistema fosse uscito determinato, avrei sostituito la $t$ nella prima equazione della retta (quella data nella traccia) oppure la $t'$ nella equazione della retta precedentemente trovata e da lì avrei ricavato il punto di incidenza. In seguito, avrei calcolato la distanza tra $A$ e il punto di incidenza $C$.
Dove è secondo voi l'errore? Grazie a tutti in anticipo!

[Riccardo Desimini]

"Lory_91":Il vettore direttore della retta $s$ passante per A e perpendicolare ed incidente alla retta $r$ è dato da: $\vec OQ = v_1 - ()/() v_0 = ((-3), (-1),(3)) - (-14)/(-4) ((1),(2),(-3)) = ((-13/2),(-8),(-15/2))$.

Abbi pazienza, ma chi è $ \mathbf{v}_2 $?

[Lory_91]

Scusa ho sbagliato, intendevo $v_0$!

[daniele912]

Ho cercato anche io di svolgere il tuo esercizio ma ho trovato le tue stesse difficoltà. Il sistema non ha soluzioni. Mi dispiace ma non so come aiutarti. Spero nell'aiuto di qualcuno più esperto di me perché la soluzione del problema mi interessa!

[psycho92]

ma viene tranquillamente radice di 5...ho fatto l'ortogonale a r per p interseco con r trovo un punto k poi faccio la distanza tra a e k

[psycho92]

ps:io sconsiglio di usare i prodotti vettoriali ecc... forse solo nelle distanze retta retta

[daniele912]

Io vorrei capire cosa c'è di sbagliato in questo procedimento. Tra l'altro, ho trovato un post su questo forum in cui Sergio applica lo stesso metodo. Il problema è che il sistema esce impossibile...
Comunque, puoi postare il tuo procedimento? Grazie!

[psycho92]

il mio è penso il metodo accademico con cui si fà la distanza punto retta...ci sei che esiste solo un piano ortogonale a una retta e per un punto?basta che consideri che un piano ha i parametri di giacitura che rappresentano la direzione del vettore ortogonale al piano quindi per trovare il piano devi solo imporre il passaggio per il punto che ti interessa.. ok quindi a questo punto intersecando questo piano con la retta trovi un punto..che è proprio quello che ti interessa perchè se fai la distanza tra i due punti trovi la distanza retta punto,prova a fare un disegno e capirai meglio.. per il prodotto vettoriale boh io non l'ho mai usato e il nostro esercitatore ce lo ha sconsigliato xhe ti incasini e basta adesso comunque se ho tempo provo a dare un occhiata ai tuoi passaggi

[daniele912]

Il problema è che il nostro esercitatore penso proprio che prediliga l'utilizzo dei metodi con i prodotti vettoriali. Ciò che dici tu mi sembra corretto, ma vorrei capire come mai il metodo applicato da Lory_91 non fornisce il risultato sperato...

[Riccardo Desimini]

"Lory_91":Io ho proceduto così:
Devo trovare una retta passante per A che sia perpendicolare ed incidente alla retta data.La retta in questione è della forma $s: \vec OP= \vec OA + \vec OQ$.

A dire il vero, non è affatto detto che $ O \in s $.

[daniele912]

Si effettivamente posta così non è detto che l'origine appartenga alla retta. Ma comunque non mi pare il motivo per il quale l'esercizio non è uscito, o sbaglio? Almeno a me non sembra così...

[Riccardo Desimini]

Riporto quanto è stato scritto:

"Lory_91":Il vettore direttore della retta $s$ passante per A e perpendicolare ed incidente alla retta $r$ è dato da: $\vec OQ = v_1 - ()/() v_0$

(dove $ \mathbf{v}_1 = B\vecA $ e $ \mathbf{v}_0 $ è un generico vettore di direzione di $ r $).

Ciò che è stato fatto è la differenza tra $ B\vecA $ e la sua proiezione ortogonale sulla giacitura di $ r $.
A questo punto, sarete d'accordo con me che è un'assurdità, dato che in questo modo risulta $B\vecQ = OvecQ $, cioè $ B = O $.

[Lory_91]

Io ho usato lo stesso metodo di cui parla daniele91, cioè quello consigliato da sergio. Effettivamente il mio è stato un errore di notazione perchè volevo far vedere che $\vec OQ$ fosse il vettore direttore della retta che sto cercando e non un vettore che ha coda nell'origine, perchè in questo modo si capisce effettivamente che $O in s$. Al di là di questo intoppo, perchè il problema non risulta corretto?

[daniele912]

Ora che ci penso è molto più semplice esprimere la distanza come la proiezione ortogonale del punto $A$ sulla retta $r$. E' di gran lunga più semplice in questo modo ed inoltre non si rende necessario calcolare l'intersezione della retta passante per $A$ e per il punto di incidenza con $r$ (che se non sbaglio chiami $B$).

[daniele912]

Io ho cercato di risolvere ed ho trovato questa immagine che permette di capire meglio di cosa si sta parlando. Devo però rinominare i punti e i vettori in modo tale che coincidano con quelli dell'immagine.


Sia $ P ((3),(1),(2))$ e $r : { ( x = 6 + t ),( y = 2 + 2t ),(z = -1 - 3t):} $. Si ricava che la distanza tra il punto dato e la retta è uguale a:

$ d (P, H) = sqrt ( ||v_1||^2 - ( (^2) / ||v_0||^2)) = sqrt (5)$ che dovrebbe essere la soluzione.

[psycho92]

facendo il conto delle operazioni da fare a me non sembra affato più semplice,poi ognuno usa il metodo che preferisce...

[Riccardo Desimini]

"daniele91":$ d (P, H) = sqrt ( ||v_1||^2 - ( (^2) / ||v_0||^2)) = sqrt (5)$ che dovrebbe essere la soluzione.

Bene.

Secondo metodo

Sia $ B = \{ \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \} $ la base ortonormale fissata per assegnare le coordinate ai punti di $ \mathbb{E}^3 $, sia $ Q \in r $ e sia $ \mathbf{v}_r $ un vettore di direzione di $ r $. Allora:

$ d(A, r) = \frac{|A\vecQ \wedge \mathbf{v}_r|}{|\mathbf{v}_r|} $

$ A\vecQ \wedge \mathbf{v}_r = \text{det} $ $ ((3, 1, \mathbf{i}),(1,2,\mathbf{j}),(-3,-3,\mathbf{k})) = 3 \mathbf{i} + 6 \mathbf{j} + 5 \mathbf{k} $

Da qui si vede subito che $ d(A, r) = \sqrt{5} $.

[Lory_91]

Ok grazie a tutti per le risposte:)