Distanza punto retta

[mauri54]

Ciao! Non riesco a risolvere questo problema di geometria nello spazio.
Dato il piano $\pi: x+y+z=0$ e il puto $P=(0,0,1)$, determinare le equazioni delle rette di $\pi$ parallele al piano coordinato $xy$ e aventi distanza $\sqrt(2)$ da $P$.

L'idea che mi era venuta è prendere il luogo di rette ottenuto prendendo un fascio di piani paralleli al piano coordinato $xy$ e intersecarlo con $\pi$
$ { ( \pi ),( z=k ):} $
Poi ho provato a scrivermi in parametrico questo fascio di rette nel seguente modo $ { ( x=t ),( y=-t-k ),( z=k ):} $ , prendere il generico punto del fascio di rette e imporre che la distanza da P sia $\sqrt(2)$ ma non mi sembra che mi porti alla soluzione, anche perché imposta la condizione e poi non so cosa farmene ...Mi potreste aiutare ? Grazie !:)

[adaBTTLS1]

io ho provato senza formule di geometria dello spazio, ma con metodi "casalinghi", partendo da ${(x+y=k),(z=k) :}$, più o meno come te, ed esprimendo la distanza di P da tale retta come ipotenusa di un triangolo rettangolo con un cateto sull'asse $z$ e l'altro cateto sulla retta ${(x+y=0),(z=k) :}$, anche se la soluzione non mi convince: ottengo $k=(2+-sqrt10)/3$ dall'equazione $(k/sqrt2)^2+(k-1)^2=(sqrt2)^2$.
prendi il risultato con le molle, ma spero che possa esserti utile almeno per uno spunto.

[mauri54]

Grazie mille!!! Non ci avevo pensato.