Distanza punto-retta

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti. Non ho capito una cosa nel mio libro , ora spiego cosa.
(notazione: $<,>$ indica il prodotto scalare)
Sia $P_0 in \varepsilon^3$ ,$r$ una retta,$P$ un punto generico di tale retta e $v$ il vettore direzionale della retta $r$:
la distanza $d(P_0,r)=d(P_0,Q)=|\vec{P_0Q}|$ con $Q$ l'unico punto tale che $\vec{P_0Q}$ sia ortogonale alla retta $r$. Sia $b$ un versore appartenente alla direzione individuata dal vettore $\vec{P_0Q}$, allora la distanza cercata è uguale al modulo della proiezione ortogonale di $\vec{P_0P}$ sulla retta $r$, cioè $d(P_0,r)=|<\vec{P_0P},b>|$.
Ma la proiezione ortogonale di $\vec{P_0P}$ sulla retta $r$ non è uguale a $<\vec{P_0P},v>v/|v|^2=<\vec{P_0P},v>v$?

[DavideGenova1]

"sleax":la distanza cercata è uguale al modulo della proiezione ortogonale di $\vec{P_0P}$ sulla retta $r$, cioè $d(P_0,r)=|<\vec{P_0P},b>|$.

Mi sembra proprio che ci sia un refuso: la distanza cercata è il modulo della proiezione ortogonale di \(\overrightarrow{P_0P}\) sulla retta \(\overline{P_0 Q}\), cioè \(d(P_0,r)=\|\langle \overrightarrow{P_0P},b \rangle b\|=|\langle \overrightarrow{P_0P},b \rangle |\).
Quanto alla proiezione ortogonale di \(\overrightarrow{P_0P}\) su $r$, sì, è \(\langle \overrightarrow{P_0P},b \rangle \frac{v}{\|v\|^2}\), ma non mi sembra esplicito, anche se magari il libro lo dice altrove, che \(\langle \overrightarrow{P_0P},v \rangle \frac{v}{\|v\|^2}=\langle \overrightarrow{P_0P},v \rangle v\), cioè che $v$ sia un versore; in ogni caso, tale proiezione non è la distanza \(d(P_0,r)\), che è appunto invece \(\|\langle \overrightarrow{P_0P},b \rangle b\|\).
Ciao!