Distanza punto retta
salve ragazzi ho bisogno di calcolare la distanza tra un punto ed una retta come intersezione di due piani come potrei fare ?
io ho pensato di trovare il piano contenente la retta tramite il fascio di piani e imporre il passaggio per il punto A però accade che \lambda si annulla (così per ogni punto preso dalla retta) ... è giusto fare questo procedimento o c'è qualcosa di piu diretto ? cosa devo fare se \lambda si annulla ?
io ho pensato di trovare il piano contenente la retta tramite il fascio di piani e imporre il passaggio per il punto A però accade che \lambda si annulla (così per ogni punto preso dalla retta) ... è giusto fare questo procedimento o c'è qualcosa di piu diretto ? cosa devo fare se \lambda si annulla ?
Risposte
Ciao, un metodo è descritto qui: http://users.dma.unipi.it/barsanti/geom ... 7/ese1.pdf
Se posti i dati numerici del problema vediamo di risolvere.
Se posti i dati numerici del problema vediamo di risolvere.
si volentieri ! allora i dati sono questi :
r: 3x+y-5=0 ; 3y+3z+3=0 (int. fra due piani) la retta l'ho ricavata io (retta per due punti A( 1 2 -3 ) B ( 2 -1 0 ))
il prob mi chiede di trovare la sfera avente centro in C ( 3 0 1 ) e tangente ad r ...
ora il mio problema è ricavarne la distanza ovvero il raggio ho provato a trovare il piano contenente la retta r e imporre il passaggio per uno dei suoi qualsiasi punti o A o B o uno ricavato dalle sue eq parametriche (tramite l'eq del fascio di piani)... io mi fermo al punto che il \lambda diventa nullo cosa devo fare in questo caso è possibile andare avanti anche col \lambda che si annulla ?
comunque nel frattempo ho elaborato un'altro metodo che non so se è giusto , senti quà ! XD :
ho preso il vettore direzionale parallelo ad r ricavato delle eq. parametriche e ho fatto lo scalare con un'ipotetico vettore CQ che risulti ortogonale a questo Q( x y z ) ... dopo aver trovato la retta s perpendicolare alla retta r ho trasformato la retta s in parametrica trovando così il suo vettore direzionale ho calcolato il suo modulo in modo da trovare la distanza perpendicolare dal punto c al punto dove incrocia r ( così credo di aver trovato la distanza d(C;r) ovvero il raggio)
è giusto questo ragionamento ? o mi do all'ippica ? XD
r: 3x+y-5=0 ; 3y+3z+3=0 (int. fra due piani) la retta l'ho ricavata io (retta per due punti A( 1 2 -3 ) B ( 2 -1 0 ))
il prob mi chiede di trovare la sfera avente centro in C ( 3 0 1 ) e tangente ad r ...
ora il mio problema è ricavarne la distanza ovvero il raggio ho provato a trovare il piano contenente la retta r e imporre il passaggio per uno dei suoi qualsiasi punti o A o B o uno ricavato dalle sue eq parametriche (tramite l'eq del fascio di piani)... io mi fermo al punto che il \lambda diventa nullo cosa devo fare in questo caso è possibile andare avanti anche col \lambda che si annulla ?
comunque nel frattempo ho elaborato un'altro metodo che non so se è giusto , senti quà ! XD :
ho preso il vettore direzionale parallelo ad r ricavato delle eq. parametriche e ho fatto lo scalare con un'ipotetico vettore CQ che risulti ortogonale a questo Q( x y z ) ... dopo aver trovato la retta s perpendicolare alla retta r ho trasformato la retta s in parametrica trovando così il suo vettore direzionale ho calcolato il suo modulo in modo da trovare la distanza perpendicolare dal punto c al punto dove incrocia r ( così credo di aver trovato la distanza d(C;r) ovvero il raggio)
è giusto questo ragionamento ? o mi do all'ippica ? XD
Possiamo seguire il metodo che ti avevo linkato prima che è abbastanza semplice.
Retta in forma parametrica:\(\displaystyle \begin{cases}
x=1+t\\y=2-3t\\z=-3+3t
\end{cases} \). Calcolo la distanza dal generico punto della retta al centro e impongo che sia minima:$$
d = \sqrt{(1+t-3)^2 + (2-3t)^2 + (-3+3t-1)^2} = \sqrt{19t^2-40t+24}
$$Derivata posta uguale a zero:$$
\frac{38t-40}{2\sqrt{19t^2-40t+24}} = \frac{19t-20}{\sqrt{19t^2-40t+24}} = 0 \Rightarrow t = \frac{20}{19}
$$Per sostituzione nell'espressione della distanza si ricava$$d = \sqrt{\frac{56}{19}}$$
Retta in forma parametrica:\(\displaystyle \begin{cases}
x=1+t\\y=2-3t\\z=-3+3t
\end{cases} \). Calcolo la distanza dal generico punto della retta al centro e impongo che sia minima:$$
d = \sqrt{(1+t-3)^2 + (2-3t)^2 + (-3+3t-1)^2} = \sqrt{19t^2-40t+24}
$$Derivata posta uguale a zero:$$
\frac{38t-40}{2\sqrt{19t^2-40t+24}} = \frac{19t-20}{\sqrt{19t^2-40t+24}} = 0 \Rightarrow t = \frac{20}{19}
$$Per sostituzione nell'espressione della distanza si ricava$$d = \sqrt{\frac{56}{19}}$$
mmm non mi sono chiari alcuni punti come ad esempio il 2 fuori dalla radice ed il numeratore ... comunque si poteva fare che trovavo l'equazione del piano per C perpendicolare a r intersecavo mettevo a sistema l'eq del piano e della retta in modo da trovare i due punti e poi facevo una semplice distanza tra due punti ?
Si può anche usare una formula diretta che semplifica le cose :
$d=(||(B-A)\bigwedge (C-A)||)/(||(B-A)||)$
dove $A,B $ sono due qualsiasi punti di r, C è il punto di cui si vuole la distanza da r e $\bigwedge$ è il simbolo di prodotto vettore.
Nel nostro caso conosciamo $A,B,C$ e dunque la formula arriva come il cacio sui maccheroni
Abbiamo :
$B-A=(1,-3,3),C-A=(2,-2,4), (B-A)\bigwedge (C-A)=(-6,2,4)$
Pertanto :
$d=\sqrt(36+4+16)/ \sqrt(1+9+9)=\sqrt{(56)/(19})$
$d=(||(B-A)\bigwedge (C-A)||)/(||(B-A)||)$
dove $A,B $ sono due qualsiasi punti di r, C è il punto di cui si vuole la distanza da r e $\bigwedge$ è il simbolo di prodotto vettore.
Nel nostro caso conosciamo $A,B,C$ e dunque la formula arriva come il cacio sui maccheroni
Abbiamo :
$B-A=(1,-3,3),C-A=(2,-2,4), (B-A)\bigwedge (C-A)=(-6,2,4)$
Pertanto :
$d=\sqrt(36+4+16)/ \sqrt(1+9+9)=\sqrt{(56)/(19})$
nel caso in cui non avessimo i punti A e B avrei potuto ricavarmeli dall'eq parametrica della retta dando 2 valori qualsiasi al parametro ? oppure ho sempre bisogno dei punti che utilizzo per arrivare all'equazione ?
Se ti rivolgi a me ti faccio osservare che ho scritto che A e B sono due punti qualsiasi di r ( anche non coincidenti con quelli dati). Questi punti li puoi ottenere come hai detto tu, dando due valori a piacere al parametro.
.
grazie mille a tutti e due !!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo