Distanza punto-retta

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Su Sernesi, Geometria I (p. 252), trovo che, in uno spazio euclideo $\mathbf{E}$ di dimensione 3 e riferimento ortonormale \(O\mathbf{i j k}\), se $r$ è una retta di direzione \(\mathbf{a}(l,m,n)\) e passante per il punto \(Q=Q(a,b,c)\)*, $p$ è un piano passante per \(P_0=P_0(x_0,y_0,z_0)\) e perpendicolare a $r$, e \(N=r\cap p\) è l'intersezione tra retta e piano, la distanza del punto $P_0$ del piano $p$ dalla retta $r$ è \(d(P_0,N)=\|\overrightarrow{NP_0}\|\) e, dato che (come dimostra il testo)\[\|\overrightarrow{NP_0}\|=\frac{\|\mathbf{a}\wedge\overrightarrow{QP_0}\|}{\|\mathbf{a}\|}\] si avrebbe che
\[d(P_0,N)=\frac{\begin{vmatrix} y_0-b & z_0-c \\ m & n \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} x_0-a & z_0-c \\ l & n \end{vmatrix}^2+ \begin{vmatrix} x_0-a & y_0-b \\ l & m \end{vmatrix}^2}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}\]
Ora, la febbre mi ha fuso il cervello o il numeratore dovrebbe stare sotto radice, essendo nient'altro che \(\|\mathbf{a}\wedge\overrightarrow{QP_0}\|\) espresso utilizzando le coordinate dei vettori in questione, cioè
\[d(P_0,N)=\sqrt{\frac{\begin{vmatrix} y_0-b & z_0-c \\ m & n \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} x_0-a & z_0-c \\ l & n \end{vmatrix}^2+ \begin{vmatrix} x_0-a & y_0-b \\ l & m \end{vmatrix}^2}{l^2+m^2+n^2}} ?\]
Grazie di cuore a chi interverrà!!!

*Coordinate naturalmente espresse rispetto alla base ortonormale \(\{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\}\) per i vettori e al riferimento cartesiano \(O\mathbf{i j k}\) per i punti.

[DavideGenova1]

Da un'analoga rappresentazione della norma del prodotto vettoriale espressa tramite le coordinate dei due vettori a p. 254 del testo, direi proprio di averci azzeccato.