Distanza punto piano aiuto formula
Ho imparato tantisisme cose nel vostro forum e ve ne sono grato volevo solo chiedervi una cosa però che non mi è capitato di vedere nel forum:
ho spesso esercizi che mi chiedono di calcolare la distanza fra il punto dal piano ma cercando su internet non ho mai trovato una spiegazione che "cambaciasse" ai miei problemi! illustro :
x+3y+z+3=0 e il punto B(1,2,3)
nella dispensa vedo indicata questa formula ma non riesco a capire da dove esca A
$d=(|u X (B-A)|)/(|_u|)
u è barrato sotto ma nn so come si fa
ho spesso esercizi che mi chiedono di calcolare la distanza fra il punto dal piano ma cercando su internet non ho mai trovato una spiegazione che "cambaciasse" ai miei problemi! illustro :
x+3y+z+3=0 e il punto B(1,2,3)
nella dispensa vedo indicata questa formula ma non riesco a capire da dove esca A
$d=(|u X (B-A)|)/(|_u|)
u è barrato sotto ma nn so come si fa
Risposte
Non so bene come interpretare la formula che hai indicato, non sembrerebbe servire allo scopo.
Quella che conosco io la trovi qui, in particolare è la formula (8) della pagina.
Applicata al tuo caso viene: |1*1+3*2+1*3+3|/sqrt(1^2+3^2+1^2)=13/sqrt(11) sempre che non abbia fatto errori stupidi.
[scusate se non so scrivere le formule decentemente]
Quella che conosco io la trovi qui, in particolare è la formula (8) della pagina.
Applicata al tuo caso viene: |1*1+3*2+1*3+3|/sqrt(1^2+3^2+1^2)=13/sqrt(11) sempre che non abbia fatto errori stupidi.
[scusate se non so scrivere le formule decentemente]
Grazie grazie mille davvero
mi si sono illuminati di immenso gli occhi quando ho visto che i tuoi calcoli erano esatti e combaciavano con lo stesso risultato che ho della mia pazza formula.
ti ringrazio tanto perchè è un esercizio che compare sempre nell'esame e saperlo fare era importante...
certo è che siamo sempre al discorso:
perchè complicare le cose quando potrebbero essere più facili?
vabbeh comunque grazie infinite
mi si sono illuminati di immenso gli occhi quando ho visto che i tuoi calcoli erano esatti e combaciavano con lo stesso risultato che ho della mia pazza formula.
ti ringrazio tanto perchè è un esercizio che compare sempre nell'esame e saperlo fare era importante...
certo è che siamo sempre al discorso:
perchè complicare le cose quando potrebbero essere più facili?
vabbeh comunque grazie infinite
Non mi pare sia una così grossa complicazione... forse non hai mai visto le cose veramente complicate.
dall'alto della mia ignoranza ringrazio infinitamente
x la distanza punto retta, che nella formula a numeratore mi trovo un prodotto vettoriale e non uno scalare, come me la risolvo???
cioè io ho il solito punto b (1,2,3) e la retta di equazione x=3y=z+3,
come me lo risolvo??? grazie per la pazienza
cioè io ho il solito punto b (1,2,3) e la retta di equazione x=3y=z+3,
come me lo risolvo??? grazie per la pazienza
Il metodo geometrico è questo :
* trasforma l'equazione della retta in forma parametrica ponendo :
$y = t $ e quindi ottieni :
$x=3t $
$y=t$
$z = -3+3t$.
I coefficienti direttori della retta sono :
$(3, 1, 3 ) $
Adesso scrivi l'equazione del piano passante per B e perpendicolare alla retta :
$ 3(x-1)+(y-2)+3(z-3)= 0 $.
Fai poi sistema tra questa equazione e quella della retta in forma parametrica : otterrai le coordinate del punto B' proiezione ortogonale di B sulla retta.
Calcoli poi la distanza BB'.
* trasforma l'equazione della retta in forma parametrica ponendo :
$y = t $ e quindi ottieni :
$x=3t $
$y=t$
$z = -3+3t$.
I coefficienti direttori della retta sono :
$(3, 1, 3 ) $
Adesso scrivi l'equazione del piano passante per B e perpendicolare alla retta :
$ 3(x-1)+(y-2)+3(z-3)= 0 $.
Fai poi sistema tra questa equazione e quella della retta in forma parametrica : otterrai le coordinate del punto B' proiezione ortogonale di B sulla retta.
Calcoli poi la distanza BB'.
è verocavallo goloso ora che ho risolto un aspetto del problema mi accorgo che ce ne è un altr 
intendevi per caso questo calcolo?
$d=(|u . (B-A)|)/(|_u|)$ (il punto sta per scalare non sapevo come farlo a metà )
nemmeno io l'ho capito tanto bene... anche perchè lo vedo distante dalla spiegazione di camillo seppure dettagliata e ottima
cosa sto sbagliando?
intendevi per caso questo calcolo?
$d=(|u . (B-A)|)/(|_u|)$ (il punto sta per scalare non sapevo come farlo a metà )
nemmeno io l'ho capito tanto bene...
anche perchè lo vedo distante dalla spiegazione di camillo seppure dettagliata e ottima cosa sto sbagliando?
proprio quello...
questo x me è arabo!!!!!!!
fino all'equazione del piano passante per B e perpendicolare alla retta ci sono, ma da li in poi chiedo l'aiuto del pubblico... 
questo x me è arabo!!!!!!!
fino all'equazione del piano passante per B e perpendicolare alla retta ci sono, ma da li in poi chiedo l'aiuto del pubblico...
Se ti è chiaro fino all'equazione del piano passante per B e perpendicolare alla retta r , il più è fatto .
Il piano $pi$ ha equazione : $3x+y+3z-14 = 0 $.
Adesso fai sistema con l'equazione parametrica della retta e quindi scrivi :
$3x+y+3z-14=0 $
$x=3t $
$y=t$
$z=-3+3t$
da cui ottieni :
$9t+t-9+9t14 = 0 $
e ricavi il valore di t che, sostituito nella equazione parametrica della retta , dà le coordinate del punto B' che è la proiezione di B sulla retta : ok ?
poi calcoli la distanza BB' ed è fatta .
Il piano $pi$ ha equazione : $3x+y+3z-14 = 0 $.
Adesso fai sistema con l'equazione parametrica della retta e quindi scrivi :
$3x+y+3z-14=0 $
$x=3t $
$y=t$
$z=-3+3t$
da cui ottieni :
$9t+t-9+9t14 = 0 $
e ricavi il valore di t che, sostituito nella equazione parametrica della retta , dà le coordinate del punto B' che è la proiezione di B sulla retta : ok ?
poi calcoli la distanza BB' ed è fatta .
scusa ma sono abbastanza duro di comprendonio... il piano $pi$ ha equazione $3x+y+3z-14 = 0 $ in seguito allo svolgimento di questa $ 3(x-1)+(y-2)+3(z-3)= 0 $... e fin qua sono a cavallo... ora ho trovato t, lo sostituisco a
$x=3t $
$y=t$
$z=-3+3t$
e mi trovo le coordinate del punto B'...
grazie a un lapsus che mi è appena accorso.... x la distanza tra 2 punti basta che sottraggo tra modulo i vari valori di x, y, z? del tipo $BB'=(|x-x'|,|y-y'|,|z-z'|)$
???? magari sotto radice elevati al quadrato e tutti opportunamente sommati???
grazie
$x=3t $
$y=t$
$z=-3+3t$
e mi trovo le coordinate del punto B'...
grazie a un lapsus che mi è appena accorso.... x la distanza tra 2 punti basta che sottraggo tra modulo i vari valori di x, y, z? del tipo $BB'=(|x-x'|,|y-y'|,|z-z'|)$
???? magari sotto radice elevati al quadrato e tutti opportunamente sommati???
grazie
Per la risoluzione dei due problemi e' possibile usare metodi vettoriali
come del resto richiesto da blulaser.
[Indico con X-Y il vettore orientato da Y verso X]
a) Per la distanza di un punto da un piano si puo' usare la formula:
(1) $d=|n*(P-B)|$
dove n e' il versore normale al piano e P e' un qualunque
punto del piano stesso.Possiamo scegliere come P il punto
P(0,0,-3) e quindi si ha:
$P-B=(-1,-2,-6)$
$n=(a/k,b/k,c/k)$ dove a,b,c sono i coefficienti delle incognite
nell'equazione del piano e $k=sqrt(a^2+b^2+c^2)$
Nel nostro caso e':
$n=(1/(sqrt11),3/(sqrt11),1/(sqrt11))$
Pertanto per la (1):
distanza=$|-1*1/(sqrt11)-2*3/(sqrt11)-6*1/(sqrt11)|=13/(sqrt11)$
**************************************************************
b) Per il secondo problema si puo' usare la formula:
(2) distanza=$ (|(P_2-P_1)x(P_1-B)|)/(|P_2-P_1|)$
dove $P_2,P_1$ sono due qualsiasi punti della retta e "x" e' il
simbolo di prodotto vettoriale.
Al presente possiamo scegliere questi punti:
$P_1(0,0,-3),P_2(3,1,0)$ e dunque:
$P_2-P_1=(3,1,3),P_1-B=(-1,-2,-6)$
$(P_2-P_1)x(P_1-B)=((3,1,3),(-1,-2,-6))=(0,15,-5)$
Sostituendo nella (2) si ha:
distanza =$(sqrt(225+25))/(sqrt(9+1+9))=(5sqrt(10))/(sqrt(19))$
karl
come del resto richiesto da blulaser.
[Indico con X-Y il vettore orientato da Y verso X]
a) Per la distanza di un punto da un piano si puo' usare la formula:
(1) $d=|n*(P-B)|$
dove n e' il versore normale al piano e P e' un qualunque
punto del piano stesso.Possiamo scegliere come P il punto
P(0,0,-3) e quindi si ha:
$P-B=(-1,-2,-6)$
$n=(a/k,b/k,c/k)$ dove a,b,c sono i coefficienti delle incognite
nell'equazione del piano e $k=sqrt(a^2+b^2+c^2)$
Nel nostro caso e':
$n=(1/(sqrt11),3/(sqrt11),1/(sqrt11))$
Pertanto per la (1):
distanza=$|-1*1/(sqrt11)-2*3/(sqrt11)-6*1/(sqrt11)|=13/(sqrt11)$
**************************************************************
b) Per il secondo problema si puo' usare la formula:
(2) distanza=$ (|(P_2-P_1)x(P_1-B)|)/(|P_2-P_1|)$
dove $P_2,P_1$ sono due qualsiasi punti della retta e "x" e' il
simbolo di prodotto vettoriale.
Al presente possiamo scegliere questi punti:
$P_1(0,0,-3),P_2(3,1,0)$ e dunque:
$P_2-P_1=(3,1,3),P_1-B=(-1,-2,-6)$
$(P_2-P_1)x(P_1-B)=((3,1,3),(-1,-2,-6))=(0,15,-5)$
Sostituendo nella (2) si ha:
distanza =$(sqrt(225+25))/(sqrt(9+1+9))=(5sqrt(10))/(sqrt(19))$
karl
"Cavallo Goloso":
scusa ma sono abbastanza duro di comprendonio... il piano $pi$ ha equazione $3x+y+3z-14 = 0 $ in seguito allo svolgimento di questa $ 3(x-1)+(y-2)+3(z-3)= 0 $... e fin qua sono a cavallo... ora ho trovato t, lo sostituisco a
$x=3t $
$y=t$
$z=-3+3t$
e mi trovo le coordinate del punto B'...
grazie a un lapsus che mi è appena accorso.... x la distanza tra 2 punti basta che sottraggo tra modulo i vari valori di x, y, z? del tipo $BB'=(|x-x'|,|y-y'|,|z-z'|)$
???? magari sotto radice elevati al quadrato e tutti opportunamente sommati???
grazie
Magari proprio elevati al quadrato , sommati e posti sotto radice quadrata :Teorema di Pitagora nello spazio.
karl nella seconda risoluzione che hai postato con quale criterio hai trovato p1 e p2??? se riuscissi a trovarli rapidamente quel metodo è decisamente più sbrigativo, grazie comunque a camillo xò ci sono trecentomila passaggi da ricordarmi e non posso permettermi il lusso di sbagliare, quindi meno passaggi ci sono più mi si rizzano le orecchie... ribadisco, grazie cmq x la pazienza!!!
uhmmm... era così bella la formulina punto piano
ps trovo anche io un pochetto arcani i procedimenti per trovare p1 e p2 come posson essere semplificati un po?
ps trovo anche io un pochetto arcani i procedimenti per trovare p1 e p2 come posson essere semplificati un po?
Le equazioni della retta sono:
x=3y,z=3y-3
Ponendo y=0 hai x=0 ,z=-3 e quindi P1(0,0,-3)
Ponendo y=1 hai x=3 ,z= 0 e quindi P2(3,1,0)
Naturalmente i valori di y si possono scegliere come si vuole:
il risultato finale sara' sempre lo stesso.
karl
x=3y,z=3y-3
Ponendo y=0 hai x=0 ,z=-3 e quindi P1(0,0,-3)
Ponendo y=1 hai x=3 ,z= 0 e quindi P2(3,1,0)
Naturalmente i valori di y si possono scegliere come si vuole:
il risultato finale sara' sempre lo stesso.
karl
quindi basta associare a t rispettivamente 0, 1 e così via...
cribbio!!!!
grazie infinite, avevo pensato a qualcosa di simile ma le dispense dove studio sono qualcosa di illeggibile e non potevo generalizzare il discorso avendo a disposizione un esempio soltanto...
grassieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
cribbio!!!!
grazie infinite, avevo pensato a qualcosa di simile ma le dispense dove studio sono qualcosa di illeggibile e non potevo generalizzare il discorso avendo a disposizione un esempio soltanto...
grassieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
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