Distanza punto-insieme in spazio metrico
Salve avrei bisogno di un chiarimento su questo passaggio di un libro
Non capisco, con questo cosa ha mostrato che $|d(x,A)-d(y,A)| <= d(x,y)$ ?? E quindi in un certo senso mi sta dicendo che la funzione è lipschitziana (se ho usato un termine improprio perdonatemi xD) e coclude perchè la lipschitzianità implica la continuità ?? Ho capito male?
P.S. Ho postato qui perchè il libro è un testo di topologia, se ho sbagliato sezione spostatemi pure...
Non capisco, con questo cosa ha mostrato che $|d(x,A)-d(y,A)| <= d(x,y)$ ?? E quindi in un certo senso mi sta dicendo che la funzione è lipschitziana (se ho usato un termine improprio perdonatemi xD) e coclude perchè la lipschitzianità implica la continuità ?? Ho capito male?
P.S. Ho postato qui perchè il libro è un testo di topologia, se ho sbagliato sezione spostatemi pure...
Risposte
E' anche lipschitiziana, ma non credo che sia questo il punto.
Facciamo un caso specifico: $RR^2$.
La tesi (da contraddire) è che $d(x,\ A)$ sia discontinua, cioè abbia dei salti.
Diciamo che abbiamo individuato un percorso tra due punti $T_0$ e $T_1$, e che in questo percorso la distanza $d(x,\ A)$ abbia un salto.
Allora poniamo $y = T_0$. Abbiamo che $d(T_0,\ A)$ - $d(y,\ A) = 0$
Ora $d(x,\ y)$ è continua, $d(y,\ A)$ è una costante, quindi è intuitivo che $d(x,\ A)$ è continua.
Ci vorrebbe una dimostrazione più rigorosa usando gli intorni di $x$, ma non sono sicuro di saperla fare.
Perchè poi faccia notare che $x$ e $y$ siano interscambiabili, non lo so.
Facciamo un caso specifico: $RR^2$.
La tesi (da contraddire) è che $d(x,\ A)$ sia discontinua, cioè abbia dei salti.
Diciamo che abbiamo individuato un percorso tra due punti $T_0$ e $T_1$, e che in questo percorso la distanza $d(x,\ A)$ abbia un salto.
Allora poniamo $y = T_0$. Abbiamo che $d(T_0,\ A)$ - $d(y,\ A) = 0$
Ora $d(x,\ y)$ è continua, $d(y,\ A)$ è una costante, quindi è intuitivo che $d(x,\ A)$ è continua.
Ci vorrebbe una dimostrazione più rigorosa usando gli intorni di $x$, ma non sono sicuro di saperla fare.
Perchè poi faccia notare che $x$ e $y$ siano interscambiabili, non lo so.
Ti ringrazio moltissimo anche se non mi hai convinto. 
In particolare questi passaggi
E grazie...
Se ho capito bene tu dici una cosa tipo "se a una funzione continua aggiungo una costante ottengo una nuova funzione continua", ma lì non c'è una uguaglianza, c'è un $<=$ che cambia un pò le cose...
Se non ho capito mi scuso, d'altronde sono sempre stato un pò duro di comprendonio...
In particolare questi passaggi"Quinzio":
Allora poniamo $y = T_0$. Abbiamo che $d(T_0,\ A)$ - $d(y,\ A) = 0$
E grazie...
Ora $d(x,\ y)$ è continua, $d(y,\ A)$ è una costante, quindi è intuitivo che $d(x,\ A)$ è continua.
Se ho capito bene tu dici una cosa tipo "se a una funzione continua aggiungo una costante ottengo una nuova funzione continua", ma lì non c'è una uguaglianza, c'è un $<=$ che cambia un pò le cose...
Se non ho capito mi scuso, d'altronde sono sempre stato un pò duro di comprendonio...
Aspetta aspetta Quinzio ho paura che tu abbia un po' mancato il bersaglio, che invece perplesso aveva centrato nel primo post.
\[d_Y(f(x_1), f(x_2))\le Cd_X(x_1, x_2), \qquad \forall x_1, x_2 \in X.\]
Una funzione siffatta è sempre uniformemente continua e quindi anche continua.
E quindi in un certo senso mi sta dicendo che la funzione è lipschitziana (se ho usato un termine improprio perdonatemi xD) e coclude perchè la lipschitzianità implica la continuità ?? Ho capito male?E' esattamente così. Una funzione \(f \colon X \to Y\) tra due spazi metrici si dice Lipschitziana se esiste una costante \(C\) tale che
\[d_Y(f(x_1), f(x_2))\le Cd_X(x_1, x_2), \qquad \forall x_1, x_2 \in X.\]
Una funzione siffatta è sempre uniformemente continua e quindi anche continua.
Chiarissimo, grazie mille a entrambi. 
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