Distanza piano-retta

[Morris0191]

Ho un dubbio per quanto riguarda quest esercizio:

Determinare la distanza tra il piano

$\pi$ : 3x - 2y + 4z + 1 = 0

e la retta r:$\{(x + 8y - 2z - 4 = 0),(4y + z -2 = 0):}$

In pratica devo studiare la posizione tra la retta r e il piano $\pi$, trovare un punto sulla r e fare la distanza retta piano?

[Quinzio]

Trovi un punto di $r$, quindi fai passare un piano parallelo a $\pi$ per il punto, e quindi calcoli la distanza tra i piani, che, se non ricordo male è $(|D-D'|)/(\sqrt(A^2+B^2+C^2))$, per due piani definiti come $Ax+By+Cz+D=0$

[Morris0191]

ho trovato un punto $P= (0, 1/2, 0)$ sulla retta $r$, calcolo i vettori direzionali della retta $u_r = (4, -1/4, 1)$ ed utilizzando questa regola $a(x-x_0) + b(y-y_0) +c(z-z_0)=0$ ho l'equazione del piano che risulta essere $4x -1/4y +z +1/8 = 0$
I piano sono paralleli $\Leftrightarrow$ la matrice $|(a,b,c),(a',b', c')|$ ha rango uguale a 1.

$|(3,-2,4),(4,-1/4, 1)|$ il rango equivale a 2 quindi deduco che i piani non sono paralleli, come faccio a crearne uno parallelo all'altro?

[Quinzio]

Al posto del vettore direzionale $u_r$ dovevi prendere la normale al piano.
In pratica un piano parallelo a $\pi$ è $3(x-x_0)-2(y-y_0)+4(z-z_0)=0$
Sostituisci il punto P in $x_0,y_0,z_0$ e quindi applichi la formula per la distanza.

[Morris0191]

grazie!