Distanza minima di un punto da iperbole

[chess71]

Determinare la distanza minima tra un' iperbole equilatera $xy=1$ e il punto $P(-1,1)$

Ho provato per via analitica, imponendo che fosse minima la distanza tra il punto $P$ e il punto $P1(x,1/x)$

$d(x)=sqrt((x+1)^2+(1/x-1)^2)$
e provando a minimizzare il quadrato della distanza ottengo $x^4+x^3+x-1=0$, che porta a poco

nel caso specifico, vedete delle soluzioni geometriche piu' veloci?
puo' essere che la distanza minima del punto dall'iperbole è la circonferenza centrata su P tangente alla curva?

[Raptorista1]

Non è che può esserlo: di sicuro lo è!

[Palliit]

Ciao.

puo' essere che la distanza minima del punto dall'iperbole è la circonferenza centrata su P tangente alla curva?

Personalmente direi di sì, che il raggio della circonferenza in questione sia la distanza minima, ma non è che i calcoli siano più snelli, anzi. Meglio, credo, lavorare un attimo sul primo membro dell'equazione:

$x^4+x^3+x-1=0$

$x^4-1+x(x^2+1)=(x^2+1)(x^2-1)+x(x^2+1)=(x^2+1)(x^2+x-1)=0$.

[chess71]

si, svolgendo i calcoli trovo che la distanza minima è $sqrt(3)$, risultato corretto

[gio73]

"chess71":Determinare la distanza minima tra un' iperbole equilatera $xy=1$ e il punto $P(-1,1)$

puo' essere che la distanza minima del punto dall'iperbole è la circonferenza centrata su P tangente alla curva?

si potrebbe scrivere: la distanza minima di un punto P dall'iperbole è lunga come il raggio della circonferenza centrata in P e tangente l'iperbole.
Scusate mi scatta in automatico...

[chess71]

grazie Gio, mi dimentico che spesso la forma è sostanza