Distanza è continua

[DeppeP]

ciao ragazzi,

ho un problema con questo esercizio del corso di topologia, sicuramente sarà banale ma mi sta mandando in palla da ieri sera

Dato [tex]X = (X,d)[/tex] spazio metrico dimostrare che la metrica [tex]d:X \times X \rightarrow \mathbb{R}[/tex] è continua (impiegare definizione locale di continuità).


La definizione locale si intende la classica "immagini di intorni contenuta in intorni dell'immagine, per ogni intorno dell'immagine".

[vict85]

Dove ti sei fermato? Qual'è la controimmagine di un intervallo in \(X\times X\)?

[DeppeP]

Vic non mi è chiara la tua domanda : - ) !

L'idea è , piglio un punto [tex](x,y) \in X \times X[/tex] ed un intorno [tex]U \in \mathbb{R}[/tex] qualsiasi della distanza associata [tex]l = d(x,y) \in \mathbb{R}[/tex], certamente esiste un [tex]\epsilon >0[/tex] tale che [tex](l-\epsilon,l+\epsilon) \subset U[/tex].. adesso si tratta di trovare un intorno V di [tex](x,y) \in X \times X[/tex] per cui valga "per ogni elemento di V la distanza ad esso associata è contenuta in [tex](l-\epsilon,l+\epsilon)[/tex]".

Dovendo V essere aperto nella topologia prodotto [tex]X \times X[/tex] con X metrico, tutto si riduce a determinare per [tex]\epsilon[/tex] fissati due palle aperte (centrate in x e y) tale che il loro prodotto, [tex]V \in X \times X[/tex] verifichi la condizioni scritta poco sopra..


bhe adesso si tratta di beccarle, queste due palle pallose : - (

[DeppeP]

Un'idea (costruita su |R!) è questa..

Supponendo [tex]d(x_{0},y_{0}) = l[/tex] considero due palle chiuse in X centrate in [tex]x_{0}[/tex] ed [tex]y_{0}[/tex] entrambe ampie ∂.
la distanza massima tra elementi nelle due palle sarà l+2∂, quella minima l-2∂, impongo:

[tex]l+2\delta \leq l + \epsilon \,\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,\, l - 2\delta \leq l - \epsilon[/tex]

verificate se [tex]\delta = \frac{\epsilon}{2}[/tex]

a questo punto prendo l'interno delle palle, sono aperti in X con la topologia metrica, il loro prodotto è aperto con la topologia prodotto e dovrebbe essere fatta.. Ma come formalizzo? : - (


------EDIT:

comincio ad esserci..
come dicevo considero due palle aperte [tex]B_{x_{0}}(\delta), B_{y_{0}}(\delta)[/tex], la distanza tra i centri è [tex]d(x_{0},y_{0}) = l[/tex].
siano adesso [tex]z \in B_{x_{0}}(\delta)[/tex] e [tex]w \in B_{y_{0}}(\delta)[/tex]
certamente: [tex]d(z,w) \leq d(z,x_{0}) + d(x_{0},y_{0}) + d(y_{0},w) \leq l + 2\delta[/tex]
da cui: [tex]d(z,w) \leq l+ 2 \delta[/tex]
Impongo: [tex]l+2\delta \leq l + \epsilon[/tex]
quindi: [tex]\delta \leq \epsilon /2[/tex]

ad ogni modo manca ancora una condizione da imporre..


Ancora, [tex]d(x_{0},z) + d(z,w) + d(w,y_{0}) \geq d(x_{0},y_{0})[/tex]
quindi: [tex]d(z,w) \geq | d(x_{0},y_{0}) - d(x_{0},z) -d(w,y_{0}) | \geq l -2\delta[/tex]
implica: [tex]d(z,w) \geq l- 2 \delta[/tex]
impongo: [tex]l- 2 \delta \geq l-\epsilon[/tex]
verificata ancora se [tex]\delta \leq \epsilon /2[/tex]


dunque le palle aperte che cerco sono [tex]B_{x_{0}}(\frac{\epsilon}{2}), B_{y_{0}}(\frac{\epsilon}{2})[/tex]


cosa ne pensate?

[DeppeP]

ragazzi qualcono riesce a dirmi se la dimostrazione è giusta?

grazie e scusate il post ripetuto!

[perplesso1]

Io ho capito quello che hai fatto



$ d(x',y') <= d(x',x)+d(x,y)+d(y,y') <= \epsilon/2 + l + \epsilon/2 = l+ \epsilon $

$ d(x',y') >= d(x,y) - d(x',x) - d(y,y') >= l - \epsilon/2 - \epsilon/2 = l-\epsilon $

E secondo me hai ragione.

[DeppeP]

esatto! grazie mille : - )

[perplesso1]

Proprio oggi mi sono imbattuto in questo stesso esercizio, però c'è anche il seguito:

Let $X'$ denote a topological space having the same underlying set as $X$. Show that if $d: X' xx X' \rightarrow R$ is continuous, then the topology of $X'$ is finer than the topology of $X$.

Hai mica qualche idea anche per questo?

[DeppeP]

proviamoci !
cosa s'intende con 'underlying' set?

[perplesso1]

il sostegno dello spazio topologico, praticamente è sempre $X$ ma con un'altra topologia e lo indica con $X'$

[DeppeP]

uhuh chiaro ! per intenderci, se denoto le topologie [tex]T[/tex] e [tex]T^{'}[/tex] sull'insieme X, gli spazi topologici relativi sono [tex]X=(X,T)[/tex] e [tex]X^{'}=(X,T^{'})[/tex].


Se ho capito per bene quello che il testo intende.. l'affermazione mi suona ancora un pò strana !
supponiamo X sia metrizzabile.. per esempio [tex]X = \mathbb{R}[/tex], considerando lo spazio topologico X' come quello della topologia metrica (uguale alla topologia standard!) generato dalla distanza usuale sui reali, e X come la topologia del limite inferiore.. d è sicuramente continua (abbiamo dimostrato poco fa) ma X è più fine di X'!

[perplesso1]

Eh no, da come ho capito io su $X$ devi prendere la topologia indotta dalla metrica. Quindi se $X=R$ e scegli la metrica euclidea allora la topologia indotta è quella standard. Su $X'$ ci puoi mettere quello che ti pare purchè $d: X' xx X' \rightarrow R$ rimanga continua. Per esempio come hai detto tu possiamo metterci la lower limit topology (che è più fine della topologia standard).

Se vuoi si può dire in altri termini così:

Ogni topologia su $X$ che rende continua la distanza $d$ è più fine della topologia indotta da $d$

Io non l'ho ancora dimostrato, quindi non so effettivamente quanto sia complicato, ma così a occhio non dovrebbe essere troppo difficile. Buon divertimento.

[DeppeP]

ahhhhh adesso capisco, ci pensiamo un pò su e ci risentiamo?

a presto

[DeppeP]

ehi perplesso! avuto qualche idea?

io non ho studiato granchè in questi giorni ma questa sera ho pensato un pochino al problema (che non è poi troppo semplice )

A grandi linee, butto giù giusto qualche idea (magari domani vediamo di formalizzare meglio)..

Supponiamo pure che X' sia più fine di X, almeno una palla centro [tex]x_{0}[/tex] e raggio [tex]r[/tex] non appartiene ad X'.
Pensiamo proprio al caso in cui alla topologia X' manchi.. una pallina
Se questo accade, necessariamente (?) tutte le palle centro [tex]x_{0}[/tex] e raggio [tex]r^{'} < r[/tex] (o più in generale tutte le palle contenute nella prima) non possono appartenere alla topologia X', questo perchè altrimenti potrei unire (unione arbitraria di tutte le palle in x0 con raggi tra 0 e r) ad ottenere la palla mancante.
A questo punto piglio un punto [tex](x_{0},y)[/tex] in X'xX' che siano distanti l.
Adesso riconsiderando la dimostrazione sulla continuità della distanza: sia l'intorno di l , [tex](l+2r,l-2r)[/tex] , nella topologia metrica basta considerare l'intorno di [tex](x_{0},y)[/tex] ottenuto per prodotto cartesiano delle palle centrate in [tex]x_{0}[/tex] e [tex]y[/tex] con raggio minore di r (o degli intorni contenuti) per verificare la continuità.
Nel caso di X' gli intorni di [tex]x_{0}[/tex] compresi nella palla iniziale non sono aperti, il prodotto cartesiano di questi con gli intorni di y non è aperto, quindi la distanza non è continua.


a me suona un pò azzardata, fammi sapere cosa ne pensi e soprattutto se sto dicendo fesserie!

a presto!

[perplesso1]

"DeppeP":Se questo accade, necessariamente (?) tutte le palle centro $x0$ e raggio $r′
Francamente non so se è vero; non potrebbe esserci anche solo un numero finito di palline con raggio minore di $r$ ?

"DeppeP":Nel caso di X' gli intorni di x0 compresi nella palla iniziale non sono aperti, il prodotto cartesiano di questi con gli intorni di y non è aperto, quindi la distanza non è continua.

Questa segue dall'affermazione precedente della cui verità non sono certo. Cioè magari è vero però si dovrebbe motivare meglio...

Io invece stavo provando così... prendo gli intervalli del tipo $(l-2\epsilon,l+2\epsilon)$ al variare di $l,\epsilon \in R$, questi formano una base di $R$. Allora le controimmagini $d^{-1} (l-2\epsilon,l+2\epsilon)$ formano una base di una topologia su $X^2$ che è sicuramente meno fine della topologia di $X'$ perchè ogni $d^{-1} (l-2\epsilon,l+2\epsilon)$ è aperto in $X'$ (per la continuità di $d$ ) A questo punto se riesco a dimostrare che gli aperti $d^{-1} (l-2\epsilon,l+2\epsilon)$ inducono la topologia metrica , il gioco è fatto, solo che purtroppo

$d^{-1} (l-2\epsilon,l+2\epsilon) = \bigcup_{x,y \in X | d(x,y)=l} B(x,\epsilon) xx B(y,\epsilon)$

Capirai che la cosa diventa un pò complicata Mi sembra migliore la tua strada!

[DeppeP]

mhhh esatto, quel passo sa di fregatura : - (! il fatto è che, una volta assunto, la conclusione suona molto naturale..

non so se sia possibile poi avere un numero finito di palle in quella mancante sai? (e può essere interessante!)
le palline in numero finito dovranno essere nella base, deve quindi essere:
Siano B1 e B2 elementi della base e sia I la loro intersezione. Per ogni x in I c'è un altro elemento della base B3 contenente x e contenuto in I.
Se come B1 appunto considero una delle palle in numero finito e B2 una palle generica centrata in un certo [tex]x_{1}[/tex] che intersechi B1.. la cosa è intuitivamente non verificata!
per intenderci.. http://s15.postimage.org/lw5chh02h/A_Caso_pagina_3.jpg

ma forse sto pasticciando un pò : - )!!


anche la tua di dimostrazione mi sembra efficace! provo a ragionarci su..

[perplesso1]

Ecco una soluzione (ma non è farina del mio sacco).

Se $d:X' xx X' \rightarrow R$ è continua allora per ogni $x \in X$ fissato la funzione $f:y \in X' \rightarrow d(x,y) \in R$ è continua. Pertanto il generico aperto della topologia metrica $B_d(x,r)=f^{-1}(- \infty, r)$ è un aperto di $X'$. Quindi la topologia su $X'$ è piu fine della topologia metrica.