Distanza e componenti connesse

[miuemia]

in un esercizio mi si dice.
dimostrare che in uno spazio metrico un chiuso e un compatto disgiunti hannoi sempre distanza positiva. Dare un esempio di due chiusi disgiunti in uno spazio metrico ma con distanza nulla.
ora non riesco a capire cm sfruttare il fatto della compattezza e della chiusura. mi potete suggerire?

e poi un'altro che davvero trovo difficile:
Sia A un aperto di $RR^n$ (dotato della topologia naturale). Si provi che ogni componente connessa di $RR^n \setminus A$ è aperta e che di tali componenti connesse ne esistono un numero al più numerabile. mostrare con un esempio che possono essere davvero infinite.
Infine se $RR^n \setminus A$ è limitato, quante componenti connesse illimitate di $RR^n \setminus A$ vi sono???

[dissonance]

Forse per il primo puoi andare per assurdo: se la distanza fosse zero, potresti costruire una successione di punti del chiuso e una di punti del compatto che si avvicinano arbitrariamente. Siccome uno dei due insiemi è compatto ci deve essere un punto limite e questo (per la chiusura di tutti e due gli insiemi) dovrebbe appartenere alla loro intersezione. Per quanto riguarda l'esempio, in $RR-{0}$ gli intervalli $[-1, 0), (0, 1]$.

[Dorian1]

Innanzitutto, un insieme compatto è chiuso e limitato in qualsiasi spazio metrico. Quindi devi dimostrare che, se $C_1$, $C_2$ sono 2 chiusi, $dist(C_1,C_2)!=0$.
Per assurdo, se $dist(C_1,C_2)=0$, abbiamo, in maniera del tutto equivalente, che:

inf $(d(x_1,x_2))_{x_1 in C_1, x_2 in C_2}=0$

e per definizione di estremo inferiore:

$AA epsilon>0, EE m in RR: 0<=m Quindi $dist(C_1,C_2)>0$.
Questo risponde al primo punto.

EDIT: Mannaggia a te Dissonance, ogni volta mi precedi!

[Dorian1]

Cosa intendi per "componenti connesse"? Sono dei semplici sottoinsiemi connessi? (cioè, tanto per intendersi, fatti tutti d'un pezzo?)

[miuemia]

qui non lo esplicita... ma credo si intenda la definizione più generale e nel caso di $RR^n$ vuol dire fatti tutti d0un pezzo

[dissonance]

buh...forse può servire il fatto che in $RR^n$ tutti gli insiemi connessi sono connessi per archi e tutti i connessi per archi sono connessi per poligonali?
comunque le componenti connesse sono classi di equivalenza: in uno spazio topologico (o metrico) si definisce la relazione di equivalenza essere connessi: due punti sono connessi $iff$ esiste un insieme connesso che li contiene entrambi. Le classi così ottenute si dicono "componenti connesse" e sono sempre chiuse. In questo caso devono essere anche aperte... per dimostrare questo forse può servire la connessione per poligonali?

[Megan00b]

"dissonance":buh...forse può servire il fatto che in $RR^n$ tutti gli insiemi connessi sono connessi per archi

In $RR^n$ sì ma in generale non è vero in $RR^n-A$ con A aperto.
E' vero se A è al più numerabile.

[Megan00b]

A ben pensarci il secondo mi sembra essere falso.
Supponiamo che esista un aperto $A!= O/$ di $RR^n$ tale che le componenti connesse di $B=RR^n-A$ siano tutte aperte.
Ma dette $B_i$ le componenti connesse di B si ha: $B=U_iB_i$ e quindi dovrebbe essere B aperto. Ma allora ottengo $RR^n=A U B$ unione di due aperti disgiunti non vuoti, il che è assurdo perchè $RR^n$ se il governo non ha riformato pure quello mi risulta sia connesso.
Un esempio pratico è $A={x in RR^n |\ ||x||<1}$ la palla aperta n-dimensionale. Il suo complementare è ${x in RR^n |\ ||x||>=1}$ che è connesso (quindi 1 componente connessa) ed è chiuso ma non aperto.

[Megan00b]

Invece il fatto che le componenti connesse siano in quantità al più numerabile è vero.
Lo dimostro facendo uso della AC (assioma di scelta) ma non è detto che non si possa farne a meno.
Per la densità di $QQ$ in $RR$ ogni componente connessa contiene almeno un punto razionale. Dunque la sua intersezione con $QQ$ è non vuota.
Sia $C_i=B_i nn QQ$. Per AC posso scegliere da ogni $C_i$ un punto (razionale). Poichè le componenti connesse sono per definizione disgiunte la funzione è iniettiva. Quindi la cardinalità dell'insieme ${B_i}$ è uguale alla cardinalità dell'insieme ${C_i}$ minore o uguale alla cardinalità dell'insieme $QQ$ che è appunto numerabile.

[Thomas16]

"Megan00b":A ben pensarci il secondo mi sembra essere falso.
Supponiamo che esista un aperto $A!= O/$ di $RR^n$ tale che le componenti connesse di $B=RR^n-A$ siano tutte aperte.
Ma dette $B_i$ le componenti connesse di B si ha: $B=U_iB_i$ e quindi dovrebbe essere B aperto. Ma allora ottengo $RR^n=A U B$ unione di due aperti disgiunti non vuoti, il che è assurdo perchè $RR^n$ se il governo non ha riformato pure quello mi risulta sia connesso.
Un esempio pratico è $A={x in RR^n |\ ||x||<1}$ la palla aperta n-dimensionale. Il suo complementare è ${x in RR^n |\ ||x||>=1}$ che è connesso (quindi 1 componente connessa) ed è chiuso ma non aperto.

credo si intenda che le componenti sono aperte rispetto alla topologia di sottospazio, il che fa fallire questi due argomenti.

[Thomas16]

"Megan00b":
Per la densità di $QQ$ in $RR$ ogni componente connessa contiene almeno un punto razionale. .

falso. Prendi un punto come $(\pi,\pi)$ ed usa come aperto iniziale il complementare del punto.

Il complementare di questo aperto è il punto preso che non ha coordinate razionali.

[Fioravante Patrone1]

"Dorian":Innanzitutto, un insieme compatto è chiuso e limitato in qualsiasi spazio metrico. Quindi devi dimostrare che, se $C_1$, $C_2$ sono 2 chiusi, $dist(C_1,C_2)!=0$.
Per assurdo, se $dist(C_1,C_2)=0$, abbiamo, in maniera del tutto equivalente, che:

inf $(d(x_1,x_2))_{x_1 in C_1, x_2 in C_2}=0$

e per definizione di estremo inferiore:

$AA epsilon>0, EE m in RR: 0<=m Quindi $dist(C_1,C_2)>0$.
Questo risponde al primo punto.

Dunque, qui si afferma (e si "dimostra") che due chiusi disgiunti in uno spazio metrico hanno sempre distanza positiva.
Affermazione che mi pare non sia stata corretta successivamente.

Non è vero. Basta prendere, in $\RR^2$, il grafico di $y = 1/x$ come $C_1$ e l'asse delle $x$ come $C_2$.

Il baco nella "dimostrazione" sta nell'assunto sul punto $P$. Nulla e nessuno lo "obbliga a star fermo".
Ma, al solito, più che l'aspetto tecnico della dimostrazione o del controesempio, qui vale la pena sottolineare che un buon istinto allenato avrebbe dovuto subito rendere molto sospettosi!

Si pensi a $d(x,A)$ che è una funzione continua. Se $x \in B$ compatto, potrò usare Weierstrass. Se non è compatto, sono esposto ai rischi di avere un inf che non è min.
Pregasi notare il ruolo del tutto irrilevante della chiusura o meno di $A$. Chissà perché.


Compito per a casa. Io ho indicato il controesempio più ovvio, immediato. Ma si può fare un controesempio anche in $RR$. Non è difficile (anzi!). Buon lavoro.

[Thomas16]

Già che ci sono faccio la questione della numerabilità, poi è ora che comincio a lavorare.

Prendo come assioma il primo punto dell'esercizio, inoltre non dimostro tutto quello che dico per fare in fretta ....

Il primo punto si può leggere (per definizione) come:

1) Le componenti connesse del chiuso sono aperte $<=>$ per ogni punto appartenente ad una componente connessa esiste un aperto di R^n che intersecata il chiuso possiede solo elementi di quella componente connessa.

Supponiamo che le componenti connesse siano più che numerabili.

Tappezziamo R^n con dei cerchi chiusi di raggio 1 centrati nei punti a coordinate razionali.

Prendiamo un punto da ogni componente connessa (sono disgiunte!)

A questo punto visto che i punti sono più che numerabili mentre i cerchi numerabili esiste un cerchio in cui cadono infiniti punti.

Visto che questo cerchio è compatto ne estraiamo una sottosuccessione convergente ad un punto del cerchio (NB: convergente in quale topologia?). Questo punto deve appartenere al chiuso iniziale (essendo limite di una successione di punti nel chiuso), e quindi ad una sua componente connessa. Applicando (1) troviamo però un intorno di questo punto che appartiene ad una sola componente connessa Contraddizione.

[Megan00b]

@Fioravante: quando scrivi in questa maniera, diversamente dal tuo solito stile criptico ed ermetico, leggerti è una goduria. Perchè non lo fai più spesso?
@Thomas: sì in effetti hai ragione, sto provando a correggere, vediamo se ci riesco.

Per il controesempio chiesto da Fioravante Patrone, si potrebbe adattare l'esempio che hai fatto te prendendo $C_1={1/n}_{n in NN}$ e $C_2={0}$. O è una fregnaccia?

[Fioravante Patrone1]

"Megan00b":
Per il controesempio chiesto da Fioravante Patrone, si potrebbe adattare l'esempio che hai fatto te prendendo $C_1={1/n}_{n in NN}$ e $C_2={0}$. O è una fregnaccia?

Lascio a te giudicare
Ho ripreso lo stile ermetico


$C_1$ non è chiuso e quindi non è un controesempio alla "dim" di Dorian.
Devi avere a disposizione due successioni che si avvicinano tra loro senza tendere da nessuna parte (neanche loro sottosuccessioni)

[Megan00b]

Ok sto cercando queste due successioni.
Ma sei sicuro che ${1/n}$ non sia chiuso? Io avevo fatto questo ragionamento:
$NN$ è chiuso in $RR$ perchè è il complementare di $(-infty,0)\ U\ (U_{n=0}^infty(n,n+1))$ che è aperto.
Ora la funzione $f(x)=1/x$ è continua su $RR-{0}$ quindi la preimmagine di ogni chiuso è un chiuso ed è bigettiva. D'altra parte è anche involutoria nel senso che la sua inversa è lei stessa. Allora si ha che $f^-1(NN)=f(NN)={1/n}$ che deve quindi essere chiuso.
Cosa ho sbagliato?

Edit: Bisognerebbe togliere lo zero sostituendo a $NN$ $NN-{0}$ però la sostanza è quella che ho scritto sopra.

[Thomas16]

"Megan00b":Ok sto cercando queste due successioni.
Ma sei sicuro che ${1/n}$ non sia chiuso? Io avevo fatto questo ragionamento:
$NN$ è chiuso in $RR$ perchè è il complementare di $(-infty,0)\ U\ (U_{n=0}^infty(n,n+1))$ che è aperto.
Ora la funzione $f(x)=1/x$ è continua su $RR-{0}$ quindi la preimmagine di ogni chiuso è un chiuso ed è bigettiva. D'altra parte è anche involutoria nel senso che la sua inversa è lei stessa. Allora si ha che $f^-1(NN)=f(NN)={1/n}$ che deve quindi essere chiuso.
Cosa ho sbagliato?

Edit: Bisognerebbe togliere lo zero sostituendo a $NN$ $NN-{0}$ però la sostanza è quella che ho scritto sopra.

tu fai ancora l'errore di non guardare su che topologia lavori.... la funzione che definisce non va da R in R ma da R privato dello zero ad R... al max troverai chiusi in R privato dello zero fornito di una qualche topologia, no?... ma a te interessano i chiusi di R...

ora prova che quell'insieme non è chiuso in R!

[Fioravante Patrone1]

"Megan00b":Ok sto cercando queste due successioni.
Ma sei sicuro che ${1/n}$ non sia chiuso? Io avevo fatto questo ragionamento:
$NN$ è chiuso in $RR$ perchè è il complementare di $(-infty,0)\ U\ (U_{n=0}^infty(n,n+1))$ che è aperto.

Mi hai fatto prendere uno spavento. Per un momento ho visto aprirsi davanti a me una voragine da taluna preconizzata.
Ma poi vedo che nel complementare manca lo zero. Fiuuuu!

D'altronde, è evidente che 1/n è una successione in $C_1$ che converge a 0 che non sta in $C_1$. Quindi non è sequenzialmente chiuso, e visto che siamo in un ambientino familiare non è neanche chiuso.

"Megan00b":Ora la funzione $f(x)=1/x$ è continua su $RR-{0}$ quindi la preimmagine di ogni chiuso è un chiuso ed è bigettiva. D'altra parte è anche involutoria nel senso che la sua inversa è lei stessa. Allora si ha che $f^-1(NN)=f(NN)={1/n}$ che deve quindi essere chiuso.
Cosa ho sbagliato?

E' un problema di sottospazio topologico. $C_1$ è chiuso in $RR-{0}$, ma dato che $RR-{0}$ non è un chiuso di $RR$ non hai la garanzia che $C_1$ sia un chiuso di $RR$

"Megan00b":Edit: Bisognerebbe togliere lo zero sostituendo a $NN$ $NN-{0}$ però la sostanza è quella che ho scritto sopra.

Non preoccuparti. Per me i naturali cominciano da 1

[Fioravante Patrone1]

Scusa, Thomas.

Ma non avevi da fare?

[Megan00b]

Ecco che bello...mi sa che questo errore lo devo correggere al più presto, due volte in un topic. Meglio che ci ragioni un po' per conto mio, voglio capirlo per bene. Grazie delle correzioni.

[Thomas16]

"Fioravante Patrone":Scusa, Thomas.

Ma non avevi da fare?

si si.... ora vado! ....