Distanza di un punto dal piano
Il problema:
In uno spazio cartesiano ho un piano contenete l'origine degli assi O(0,0,0), per cui la sua equazione sarà ridotta a:
ax+by+cz=0
Di questo piano io conosco la normale n(i,j,k), che è un vettore unitario.
Vorrei determinare la distanza minima di un punto qualsiasi P(xp,yp,zp) dal piano. Come posso procedere?
Vorrei fare l'intersezione tra il piano e la retta passante per P(xp,yp,zp) e con direzione n(i,j,k). Il problema è che non so ricavare l'equazione del piano dalla sua normale, e non so neppure ricavare l'equazione della retta dalla sua direzione.
Spero che qualcuno mi possa aiutare.
In uno spazio cartesiano ho un piano contenete l'origine degli assi O(0,0,0), per cui la sua equazione sarà ridotta a:
ax+by+cz=0
Di questo piano io conosco la normale n(i,j,k), che è un vettore unitario.
Vorrei determinare la distanza minima di un punto qualsiasi P(xp,yp,zp) dal piano. Come posso procedere?
Vorrei fare l'intersezione tra il piano e la retta passante per P(xp,yp,zp) e con direzione n(i,j,k). Il problema è che non so ricavare l'equazione del piano dalla sua normale, e non so neppure ricavare l'equazione della retta dalla sua direzione.
Spero che qualcuno mi possa aiutare.
Risposte
"PaoloC":
Il problema:
In uno spazio cartesiano ho un piano contenete l'origine degli assi O(0,0,0), per cui la sua equazione sarà ridotta a:
ax+by+cz=0
Di questo piano io conosco la normale n(i,j,k), che è un vettore unitario.
Vorrei determinare la distanza minima di un punto qualsiasi P(xp,yp,zp) dal piano. Come posso procedere?
Vorrei fare l'intersezione tra il piano e la retta passante per P(xp,yp,zp) e con direzione n(i,j,k). Il problema è che non so ricavare l'equazione del piano dalla sua normale, e non so neppure ricavare l'equazione della retta dalla sua direzione.
Spero che qualcuno mi possa aiutare.
La formula che cerchi è:
distanza $ = (|ax_p + by_p + cz_p + d|)/(sqrt(a^2+b^2+c^2))$
nel tuo caso hai $d=0$.
Grazie franced. I termini a,b,c corrispondono ai termini i,j,k del vettore normale al piano?
Testato, il metodo funziona!
Oltrettutto, essendo la mia normale al piano un vettore unitario, non è neppure necessario il termine divisore. Dunque l'espressione si riduce nel mio caso a:
$ d = ix_p + jy_p + kz_p $
Non pensavo che la soluzione potresse diventare così semplice.
Oltrettutto, essendo la mia normale al piano un vettore unitario, non è neppure necessario il termine divisore. Dunque l'espressione si riduce nel mio caso a:
$ d = ix_p + jy_p + kz_p $
Non pensavo che la soluzione potresse diventare così semplice.
Se ricordi la formula che dà, nel piano, la distanza $ d $ fra un punto $P(x_0,y_0) $ e la retta di equazione $ax+by+c =0 $ , precisamente $d = |ax_0+by_0+c|/sqrt(a^2+b^2) $ , vedi che le due formule sono molto simili, una la naturale estensione dell'altra.
Si, non ci avevo pensato. In effetti nell'estendere l'equazione della retta da R² a R³ si ottiene proprio un piano.
"PaoloC":
Si, non ci avevo pensato. In effetti nell'estendere l'equazione della retta da R² a R³ si ottiene proprio un piano.
Per dimostrare formalmente la formula basta lavorare in modo opportuno con i vettori.
Se mi dite come si fa ad inserire una figura vi faccio vedere la dimostrazione.
Ricordare a memoria le varie formule mi costrinse a ricercare un metodo per aggirare la grande capacità di memorizzazione che quella richiedeva. Ricostruire la formula è molto meno dispersivo che ricordarla. Io inizio sapendo solo che una retta qualunque deve sottostare al fatto che il segmento tra due punti qualunque della stessa deve risultare ortogonale ad un vettore fisso (versore), che chiamiamo $r$ e di coordinate $l,m$. Poichè il prodotto scalare di due vettori ortogonali è sempre 0, si imporrà proprio che:
$(P-P_0)*r = 0$
che sviluppata (non rifaccio i passaggi) da' l'equazione della retta in forma Canoninca, o Archimedea, seguente:
$ax + by + c = 0$
Il passaggio mentale successivo:
Poiché per un qualunque punto esterno alla retta passa una ed una sola retta ortogonale alla retta data (Postulato di Euclide), allora dovrà essere:
$(P-P_0) * r = ax +by + c $
ma $(P-P_0)$ è proprio la distanza che cerco se per $r$ prendo i valori $l=a \ \ \ m=b$, il cui modulo è $sqrt(a^2+b^2)$ , ne deriva che la distanza di un punto da una retta (o di un punto da un piano, si aggiunge la terza coordinata...), è:
$d = (ax +bx +c)/sqrt(a^2+b^2)$
Nel tuo caso, come hai esultato (giubilate frates...), il versore è unitario, pertanto la soluzione diventava elementare (...Watson!).
Come si inseriscono i grafici?
$(P-P_0)*r = 0$
che sviluppata (non rifaccio i passaggi) da' l'equazione della retta in forma Canoninca, o Archimedea, seguente:
$ax + by + c = 0$
Il passaggio mentale successivo:
Poiché per un qualunque punto esterno alla retta passa una ed una sola retta ortogonale alla retta data (Postulato di Euclide), allora dovrà essere:
$(P-P_0) * r = ax +by + c $
ma $(P-P_0)$ è proprio la distanza che cerco se per $r$ prendo i valori $l=a \ \ \ m=b$, il cui modulo è $sqrt(a^2+b^2)$ , ne deriva che la distanza di un punto da una retta (o di un punto da un piano, si aggiunge la terza coordinata...), è:
$d = (ax +bx +c)/sqrt(a^2+b^2)$
Nel tuo caso, come hai esultato (giubilate frates...), il versore è unitario, pertanto la soluzione diventava elementare (...Watson!).
Come si inseriscono i grafici?
Se $P$ è il punto e $r$ la retta, ortogonale al vettore $n$ (modulo = 1),
la distanza è semplicemente uguale a
$d = O'P cdot n$
dove $O'$ è un punto della retta $r$.
la distanza è semplicemente uguale a
$d = O'P cdot n$
dove $O'$ è un punto della retta $r$.
Ovviamente lo stesso discorso vale per un piano.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo